Flessi

$ y(x) =  (x^2-1)^3 $ 

• Dominio = ℝ 

y"$(x) = 6(5x^4-6x^2+1) = 6 (x^2-1)(5x^2-1)$ 

• Zeri della derivata seconda. x = ± 1 e in x = ± √5/5

Studio del segno della derivata seconda. 

___-√5/5_____-1_____1_____√5/5___

++++++++++0--------0+++++++++  6(x^2-1)

++++0------------------------------0+++   (5x^2-1)

++++0---------0++++0-----------0+++   y"(x)

...∪...≠....∩....≠... ∪ ...≠......∩.....≠...∪..   y(x)

Legenda

∪ = convessa

∩ = concava

≠ = flesso

X = non definita

Conclusioni.

1. La funzione y(x) è convessa in (-∞, -√5/5), in (-1, 1) e in (√5/5, +∞)
2. La funzione y(x) è concava in (-√5/5, -1) e in (1, √5/5)    
3. Per x = -1   si ha un flesso, (y"(x) = 0 ed è presente un cambio di concavità)
4. Per x = +1   si ha un flesso, (y"(x) = 0 ed è presente un cambio di concavità)
5. Per x = -√5/5 si ha un flesso, (y"(x) = 0 ed è presente un cambio di concavità)
6. Per x = √5/5 si ha un flesso, (y"(x) = 0 ed è presente un cambio di concavità)

$\quad k\in\mathbb{Z} $