Flessi

$ y(x) = 2sin(x) + sin^2(x) $

• Dominio = ℝ
• Periodicità. La funzione è periodica di periodo T = 2π
• derivata seconda. $ y$"$= -4sin^2(x) - 2sin(x) + 2 $

a. Flessi.

Determiniamo le radici della derivata seconda.

Risolviamo l'equazione con la sostituzione seguente. poniamo $ t = sin(x) $ da cui

$ -4t^2-2t+2 = 0$

$ 2t^2+t-1 = 0$

Le cui due soluzioni sono:

1. $t  = -1$ 
2. $t = \frac{1}{2}$

Studiamo la convessità, cioè dove la derivata seconda è positiva. Essendo un'equazione di secondo grado sarà positiva o nulla per

• $ t ≤ -1  \; ∧ \;   t ≥ \frac{1}{2}$

Ritornando alla variabile originaria

i) $ t ≤ -1 \; ⇒ \; sin x ≤ -1 \; ⇒ \; x = \frac{3\pi}{2}$ questo è un punto isolato non è un flesso. A sinistra la derivata è negativa a destra è ancora negativa. Non c'è un cambio di concavità.

ii) $  t ≥ \frac{1}{2} \; ⇒ \; sin x ≥ \frac{1}{2} \; ⇒ \; \frac{\pi}{6}+2k\pi ≤ x ≤ \frac{5\pi}{6}+2k\pi \qquad k \in \mathbb{Z} $

Conclusione. La funzione è convessa in $\frac{\pi}{6}+2k\pi ≤ x ≤ \frac{5\pi}{6}+2k\pi \qquad k \in \mathbb{Z} $

iii) I punti di flesso sono:

iii.1) $ x = \frac{\pi}{6}+2k\pi $ 

iii.2) $ x = \frac{5\pi}{6}+2k\pi $