fisica inerzia e energia cinetica di rotazione esercizio 115

Applichiamo la 2^ legge della dinamica ai tre corpi costituenti il sistema in studio:

{Χ - m·g = m·a

{Μ·g - Υ = Μ·a

{(Υ - Χ)·r = Ι·α------> Υ - Χ = a·μ/2

Sistemiamo la terza equazione tenendo conto che:

Ι = 1/2·μ·r^2 = momento di inerzia della carrucola rispetto al suo centro di rotazione

α = a/r = accelerazione angolare della carrucola per effetto dei due tiri X ed Y agli estremi della stessa

Ι·α = 1/2·μ·r^2·(a/r)= a·r·μ/2

Quindi la terza equazione si scrive in termini delle tre incognite da determinare come sopra.

Sostituiamo i dati nelle tre equazioni:

m = 1 kg ; g = 9.806 m/s^2; Μ = 3.4 kg

{Χ - 1·9.806 = 1·a

{3.4·9.806 - Υ = 3.4·a

{Υ - Χ = a·2.4/2

Risolviamo il sistema ed otteniamo:

[a = 4.202571428 ∧ Υ = 19.05165714 ∧ Χ = 14.00857142]

Cioè:

a = 4.2 m/s^2; Y = 19 N ; X=14 N

Fpeso1 =m1 g = 1,0 * 9,8 = 9,8 N;                                      

Fpeso2 = m2 g = 3,4 * 9,8 = 33,32 N; forze verso il basso;

Sulle funi agiscono le forze di tensione verso l'alto T1 e T2;

Sul corpo 1:

T1 - Fpeso1 =  + m1 a;   m1 sale verso l'alto; 

sul corpo 2;

T2 - Fpeso2 = - m2 a ; m2 scende verso il basso;

Sulla carrucola agiscono le due tensioni T1 e T2 che la fanno ruotare in senso orario;

agisce  il momento della forza risultante,   M = r * F risultante;

r * (T2 - T1) = I * α;

I = momento d'inerzia;  α = accelerazione angolare; α = a / r;

I = 1/2 mc * r^2 ;

r * (T2 - T1) = [1/2 * 2,4 * r^2] * a/r;

T2 - T1   = 1,2 *  r^2 * a /r^2;     r^2 si semplifica;

abbiamo tre equazioni in tre incognite: T1; T2; a;

T2 - T1 =  1,2 * a;    (1)

T1 - 9,8 = 1 * a;       (2)

T2 - 33,32 = - 3,4 * a;   (3)

dalla 2:

T1 = a + 9,8;

dalla  (3)

T2 = 33,32 - 3,4 a;   sostituiamo nella  (1)

33,32 - 3,4 a - (a + 9,8) = 1,2 a;  (1)

- 3,4 a - a - 1,2 a = - 33,32 + 9,8;

- 5,6 a = - 23,52;

a = 23,52 /5,6 = 4,2 m/s^2; accelerazione dei due corpi e della carrucola;

T1 = 4,2 + 9,8 = 14 N;

T2 = 33,32 - 3,4 * 4,2 = 19,04 N; forze agenti sulla carrucola, (tensioni delle funi).

ciao  @muta   

si ricava questa formula risolutiva per l'accelerazione :   (se la vuoi ricordare);

m1 a + m2 a + (1/2 mc) a = m2 g - m1 g;

a = g * (m2 - m1) / [m1 + m2 + (mc/2)]; 

a = 9,8 * (3,4 - 1) /[1,0 + 3,4 + (2,4/2)] 

a = 9,8 * 2,4 / 5,6 = 23,52 / 5,6 = 4,2 m/s^2.