Al bordo di un disco di massa $m_d=2.5 \mathrm{~kg}$ e raggio $R=20 \mathrm{~cm}$, che può ruotare senza attriti intomo al suo asse verticale fisso, ê saldata lungo un diametro un'asta di massa $m_a=0.6 \mathrm{~kg}$ e lunghezza $2 R$ alla cui estremitâ libera è applicata la forza orizzontale $F=0.77 \mathrm{~N}$ a un angolo $\theta=150^{\circ}$. Calcolare: (a) il momento d'inerzia del sistema; (b) la sua accelerazione angolare; (c) la sua energia cinetica dopo $t=4$ s.
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Livello 1
applicazione del teorema di Steiner:
I = 2,5/2*0,2^2+0,6*(0,4)^2/12+0,6*(0,4)^2 = 0,154 kg*m^2
momento M = 0,77*0,60*cos 60° = 0,231 N*m
accelerazione angolare α = M/I = 0,231/0,154 = 1,50 rad/s^2
velocità angolare ω = α*t = 1,50*4 = 6,0 rad/s
Ek = I/2*ω^2 = 0,077*6^2 = 2,77 J
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Genius III
@remanzini_rinaldo Non riesco a capire questo passaggio.
momento M = 0,77*0,60*cos 60° = 0,231 N*m
Non dovrebbe essere M=F 2R sin 150° ?
@remanzini_rinaldo Grazie
Il momento di inerzia totale del sistema $I$ è la somma algebrica del momento di inerzia del disco e dell'asta. Quindi
\[I = \frac{1}{2} m_d R^2 + \frac{1}{12} m_s 4 R^2 + m_s R^2\,,\]
dove $\frac{1}{12} m_s 4 R^2 + m_s R^2$ si ricava dal teorema degli assi paralleli.
L'accelerazione angolare $\alpha$ si ottiene dalla relazione (applicando la Seconda Legge di Newton per moti rotatori)
\[\tau = I \cdot \alpha \mid \tau = F \cdot \left(2R\right) \cdot \sin{\theta}\,.\]
L'energia cinetica $K$, dopo $t = 4\,s$, si ottiene dalla relazione
\[K = \frac{1}{2} I \omega^2 \mid \omega = \alpha t\,.\]
Basta sostituire i valori.
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Livello 5
@enrico_bufacchi ...a me pare che lo spostamento del centro di massa dell'asta sia pari a 2R : mi sbaglio ?
