[Risolto] fascio rette

NB:
* il carattere "× croce di Sant'Andrea" è l'operatore di prodotto vettoriale, non è una lettera: usarlo come "x minuscolissima" non è corretto (come dire y=+).
* "deve venire ..." lo può dire solo chi già ha risolto correttamente il problema; ma se tu stai ancora chiedendo a noi la risoluzione, il massimo che puoi dire è "il risultato atteso sarebbe ..., se fosse corretto.".
* per "bisetrice secondaria" intendo "bisettrice dei quadranti pari", confortato da "io noto che il fascio è perpendicolare alla retta y=x".
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PREMESSA
Tre punti formano triangolo se non sono allineati.
L'area del triangolo che ha i vertici
* A ≡ P1(x1, y1), B ≡ P2(x2, y2), C ≡ P3(x3, y3)
è metà del valore assoluto di una semplice espressione delle coordinate
* S(ABC) = (1/2)*|x1*(y2 - y3) - x2*(y1 - y3) + x3*(y1 - y2)|
Se tre punti sono allineati l'area del triangolo che li ha per vertici è zero.
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OPERAZIONI PRELIMINARI (a passi piccoli, ma ben decisi)
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Ogni parallela p alla bisettrice dei quadranti pari ha la forma
* p(h) ≡ y = h - x
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"le 2 rette" richieste devono, per la simmetria notata da "io noto che ...", avere intercette h non nulle e opposte
* p(- h) ≡ y = - h - x
* p(+ h) ≡ y = + h - x
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La parabola degenere Γp che le rappresenta in quanto coppia di parallele è
* Γp(h) ≡ (- y - h - x)*(- y + h - x) = (x + y)^2 - h^2 = 0 ≡
≡ (x + y)^2 = h^2 > 0
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Gli altri due lati dei triangoli sono sulle rette
* y = x
* y = 2*x
che sono rappresentate in quanto coppia di rette incidenti dall'iperbole degenere
* Γh ≡ (- y + x)*(- y + 2*x) = 2*x^2 - 3*x*y + y^2 = 0 ≡
≡ 2*x^2 + y^2 = 3*x*y
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Le intersezioni fra le due coniche degeneri sono gli estremi dei lati opposti al vertice nell'origine
* (2*x^2 + y^2 = 3*x*y) & ((x + y)^2 = h^2 > 0) ≡
≡ (± h/2, ± h/2) oppure (± h/3, ± 2*h/3), presi coi "±" concordi.
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I due triangoli simmetrici hanno i vertici
* O(0, 0), A(h/2, h/2), B(h/3, 2*h/3)
* O(0, 0), A'(- h/2, - h/2), B'(- h/3, - 2*h/3)
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OPERAZIONI RISOLUTIVE
L'area del triangolo di vertici
* O(0, 0), A(h/2, h/2), B(h/3, 2*h/3)
è
* S(OBC) = h^2/12
che, per valere tre, richiede
* S(OBC) = h^2/12 = 3 ≡ h^2 = 36 ≡ h = ± 6
da cui le rette richieste
* p(± 6) ≡ y = ± 6 - x
che è proprio il risultato atteso.

@lorenzo_licinio_carino 

@lorenzo_licinio_carino

Se preferisci non usare la tangente, allora calcoli le intersezioni tra il fascio e le due rette. Una volta trovati i punti, utilizzando la distanza tra due punti, determini la costante q per la quale l'area del triangolo è 3

@lorenzo_licinio_carino

Ciao e benvenuto.

Diciamo A e B le intersezioni fra la generica retta del fascio improprio definito da

y=-x+q

e le due rette date:    y=2x ed y=x

Quindi risolviamo facilmente due sistemi:

{y = -x + q

{y = 2·x

da cui otteniamo [x = q/3 ∧ y = 2·q/3]-------> A(q/3, 2·q/3)

{y = -x + q

{y = x

da cui otteniamo [x = q/2 ∧ y = q/2]--------> B(q/2,q/2)

L'altro punto che determina il triangolo (i triangoli) è l'origine! Mettiamo nell'ordine i punti:

[0, 0]

[q/3,2*q/3]

[q/2,q/2]

[0,0]

procediamo con la formula dell'allacciamento delle scarpe ( ne ho già parlato più volte)

Area=

=1/2·ABS(0·2·q/3 + q/3·q/2 + q/2·0 - (0·q/2 + q/2·2·q/3 + q/3·0)) = 3

1/2·ABS(0 + q^2/6 + 0 - (0 + q^2/3 + 0)) = 3

1/2·ABS(- q^2/6) = 3

che si traduce in q^2 = 36-------> q = -6 ∨ q = 6

quindi due rette: y=-x+6   e    y=-x-6