TEMO FORTEMENTE CHE QUESTA VOLTA TU L'ABBIA FATTA FUORI DAL VASO, presentando desiderii fisicamente incompatibili. E mi spiego.
Volere "aiutarti per farti capire bene questo esercizio" vuol dire svolgerlo con MOLTI passaggi intermedii commentando ciascuno di essi: farlo in classe alla lavagna significherebbe almeno una seduta da un paio d'ore. Il motivo è che ciò che tu chiami "questo esercizio" è in realtà un tema d'esame; facile sì (come dev'essere ogni tema d'esame ben progettato), ma di svolgimento complesso e impegnativo (serve a tenere i candidati a capo basso sul proprio foglio, così si minimizzano le comunicazioni indebite). La sovrabbondanza di richieste ha anche lo scopo di facilitare la valutazione degli svolgimenti rilevando, in ciascun elaborato, quali siano state le richieste nemmeno prese in esame, quelle affrontate tanto per fare scena, e la qualità delle risposte di quelle svolte seriamente.
Di fronte all'incompatibilità io opto per uno svolgimento sintetico e, per il capire, ti abbandono a te stesso confidando nelle tue capacità cognitive che t'invito a esercitare SENZA FRETTA.
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Il fascio
* Γ(k) ≡ y = (k*x + 3)/(x + (k - 2))
ha asintoti {x = 2 - k, y = k} e centri C(2 - k, k) sulla retta y = 2 - x.
Presenta i soli casi degeneri del prodotto in croce nullo
* k*(k - 2) = 3*1 ≡ (k = - 1) oppure (k = 3)
* Γ(- 1) ≡ y = - 1
* Γ(3) ≡ y = 3
quindi per ogni k non in {- 1, 3} dà luogo a un'iperbole.
Il sistema
* Γ(0) & Γ(1) ≡ (y = (0*x + 3)/(x + (0 - 2))) & (y = (1*x + 3)/(x + (1 - 2))) ≡
≡ B1(- 1, - 1), B2(3, 3)
individua i punti base sulla diagonale dei quadranti dispari.
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Asintoti & C.
* orizzontale: y = k
* verticale: x = 2 - k
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"la retta di equazione t=1" è un errore di dito, vero?
"gamma1" ha asintoto y = 1, quindi è
* γ1 ≡ Γ(1) ≡ y = (1*x + 3)/(x + (1 - 2))) ≡ y = (x + 3)/(x - 1)
di pendenza
* m1(x) = - 4/(x - 1)^2
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"Gamma2" ha asintoto x = 4 (4 = 2 - k ≡ k = - 2), quindi è
* Γ2 ≡ Γ(- 2) ≡ y = (- 2*x + 3)/(x + (- 2 - 2)) ≡ y = (3 - 2*x)/(x - 4)
di pendenza
* m2(x) = 5/(x - 4)^2
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Ovviamente, γ1 e Γ2 (perché mai solo una maiuscola?) s'intersecano nei punti base B.
Un grafico complessivo delle Γ viste fin qui, degeneri incluse, è al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=table%5By%3D%28k*x--3%29%2F%28x--%28k-2%29%29%2C%7Bk%2C-2%2C3%7D%5D
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Tangenti
Nel punto B2(3, 3) le pendenze valgono
* m1(3) = - 4/(3 - 1)^2 = - 1
* m2(3) = 5/(3 - 4)^2 = 5
quindi le rette tangenti sono, nel fascio per B2,
* t(m) ≡ y = 3 + m*(x - 3)
quelle con le suddette pendenze
* t(- 1) ≡ y = 3 - 1*(x - 3) ≡ y = 6 - x
* t(5) ≡ y = 3 + 5*(x - 3) ≡ y = 5*x - 12
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"... punti A e B, tali che |AB| = 9"
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Dai sistemi fra le rette generiche e le iperboli si trovano A e B generici
* (y = a) & (y = (x + 3)/(x - 1)) ≡ A((a + 3)/(a - 1), a)
* (y = b) & (y = (3 - 2*x)/(x - 4)) ≡ B((4*b + 3)/(b + 2), b)
si calcola la loro distanza
* |AB| = √((a - b)^2 + (a*(3*b + 1) - (7*b + 9))^2/((a - 1)*(b + 2))^2)
e si tenta d'imporre che valga nove
* √((a - b)^2 + (a*(3*b + 1) - (7*b + 9))^2/((a - 1)*(b + 2))^2) = 9 ≡
≡ (a - b)^2 + (a*(3*b + 1) - (7*b + 9))^2/((a - 1)*(b + 2))^2 - 81 = 0 ≡
≡ ((b + 2)^2)*a^4 - 2*(b + 1)*((b + 2)^2)*a^3 + (b^4 + 8*b^3 - 51*b^2 - 298*b - 319)*a^2 - 2*(b^4 + 5*b^3 - 52*b^2 - 286*b - 315)*a + (b^4 + 4*b^3 - 28*b^2 - 198*b - 243) = 0
ma questo tentativo analitico diretto si rivela fallimentare.
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Un secondo tentativo (poi m'arrendo!) è di usare la medesima verticale e vedere in quali posizioni la differenza delle ordinate soddisfà al vincolo
* (x = k) & (y = (x + 3)/(x - 1)) ≡ A(k, (k + 3)/(k - 1))
* (x = k) & (y = (3 - 2*x)/(x - 4)) ≡ B(k, (3 - 2*k)/(k - 4))
* |AB| = 3*√((k^2 - 2*k - 3)^2/(k^2 - 5*k + 4)^2) = 9 ≡
≡ |(k + 1)*(k - 3)/((k - 1)*(k - 4))| = 3 ≡
≡ ((k + 1)*(k - 3)/((k - 1)*(k - 4)) = - 3) oppure ((k + 1)*(k - 3)/((k - 1)*(k - 4)) = 3) ≡
≡ (k = (17 - √145)/8) oppure (k = 3/2) oppure (k = (17 + √145)/8) oppure (k = 5)
da cui le terne {k, y1, y2} al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=table%5B%7Bk%2C%28k--3%29%2F%28k-1%29%2C%283-2*k%29%2F%28k-4%29%7D%2C%7Bk%2C%7B%2817-%E2%88%9A145%29%2F8%2C3%2F2%2C%2817--%E2%88%9A145%29%2F8%2C5%7D%7D%5D
dove tuttavia non noto molte somiglianze col risultato atteso (ma forse è colpa mia, non notare!).
