Data la retta di equazione $3 x-4 y+5-2 k=0$, determina $k$ in modo che:
a. passi per l'origine degli assi;
c. sia parallela alla retta $y=\frac{1-3 x}{4}$;
b. intersechi l'asse delle ascisse in -3 ;
d. sia perpendicolare alla retta di equazione $4 x+3 y+6=0$.
$\left[\right.$ a) $\frac{5}{2}$; b) $-2 ;$ c) $\exists k \in R ;$ d) $\left.\forall k \in Z \right]$
Spiegare gentilmente i ragionamenti e argomentare.
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Livello 2
a. Passa per O(0, 0)
Sostituiamo le coordinate nell'equazione della retta e determiniamo quale valore di k la rende vera.
$ 5-2k = 0 \; ⇒ \; k = \frac{5}{2} $
b. Interseca l'asse delle ascisse per x = - 3.
L'asse delle ascisse ha equazione y = 0.
Il punto di intersezione ha coordinate P(-3, 0)
Sostituiamo le coordinate nell'equazione della retta e determiniamo quale valore di k la rende vera.
$ -9+5-2k = 0 \; ⇒ \; k = -2 $
c. La retta $ y = -\frac{3}{4}x + \frac{1}{4} $ ha coefficiente angolare $ m = -\frac{3}{4} $
Il coefficiente angolare delle rette del fascio $ y = \frac{3}{4}x + \frac{5-2k}{4}x $ è $ \bar{m} = \frac{3}{4}$
Ci chiediamo per quale valore di k vale l'uguaglianza
$ m = \bar{m} $ ovvero
$ -\frac{3}{4} = \frac{3}{4} $
Non esiste un k reale che possa rendere l'uguaglianza vera.
d. Si vuole conoscere per quale valore di k la corrispondente retta è perpendicolare alla $ y = -\frac{4}{3}x - 2$
Coefficiente angolare di tale retta è $ m = -\frac{3}{4}$
Coefficiente angolare delle rette del fascio (al variare di k) $ \bar{m} = \frac{3}{4}$
Osserviamo che è indipendente dal parametro k.
Per essere perpendicolare è necessario che il loro prodotto valga -1
$ m \cdot \bar{m} = -\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = -1$
La retta data è perpendicolare a tutte le rette del fascio, in altre parole è perpendicolare ∀k∈ℝ
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Livello 6
