Fascio di parabole, parabola tangente a una retta

y = x^2 - 2x + 4 + k (-x^2 + 2) = -2x + 4

x^2 - k x^2 + 2k = 0

(1 - k) x^2 + 2k = 0

D = 0 =>   0 - 4(1 - k)*2k = 0 =>   k (1 - k) = 0

e poiché non può essere k = 1 perché sostituendo verrebbe 0 + 2 = 0

deve essere k = 0 e così la parabola richiesta é y = x^2 - 2x + 4

Il fascio generato dalle due parabole ha equazione:

 y = x^2 - 2x + 4 + k (-x^2 + 2) = (1-k)x² - 2x + (4+2k)

Posto k≠1, altrimenti il fascio di parabole degenera in un fascio di rette improprio.... 

Sappiamo che il coefficiente angolare della retta tangente la conica nel generico punto di ascissa x0 è:

m= 2*a*x0 + b = 2*(1-k)*x0 - 2

L'equazione della retta tangente nel punto (x0;y0) è:

y= y0 + [2(1-k)*x0 - 2]*x 

La retta tangente nel punto x0 deve essere y= - 2x + 4

Quindi 

{y0= 4

{2(1-k)*x0 - 2 = - 2 

Essendo k≠1 => x0=0

La parabola del fascio passa per P(0;4)

Sostituendo le coordinate del punto nel fascio determino il valore del parametro 

4=4+2k  => k=0

L'equazione della conica è: y=x² - 2x + 4

La retta
* t ≡ y = 4 - 2*x
ha pendenza m = - 2
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Le parabole
* Γ1 ≡ y = x^2 - 2*x + 4 ≡ x^2 - 2*x + 4 - y = 0
* Γ2 ≡ y = - x^2 + 2 ≡ 2 - x^2 - y = 0
generano il fascio, con (a, b) non entrambi nulli cioè con a + b != 0,
* Γ(a, b) ≡ a*(x^2 - 2*x + 4 - y) + b*(2 - x^2 - y) = 0 ≡
≡ (a - b)*x^2 - 2*a*x - (a + b)*y + 2*(2*a + b) = 0
che, per b = a, degenera su
* Γ(a, a) ≡ y = 3 - x
semplice retta di pendenza meno uno che non soddisfà alla condizione e, per b != a, diventa
* Γ(a, b) ≡ y = ((a - b)/(a + b))*(x - a/(a - b))^2 + (a*(a - 2*b)/(a^2 - b^2) + 2)
fascio di parabole non degeneri con
* asse parallelo all'asse y
* apertura (a - b)/(a + b) != 0
* vertice V(a/(a - b), a*(a - 2*b)/(a^2 - b^2) + 2)
* pendenza m(x) = 2*((a - b)/(a + b))*(x - a/(a - b))
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La tangenza con t richiede sia la corretta pendenza
* m(x) = m ≡ 2*((a - b)/(a + b))*(x - a/(a - b)) = - 2 ≡ x = b/(b - a)
che l'avere in comune un punto reale doppio cioè che il sistema
* t & Γ(a, b) ≡
≡ (y = 4 - 2*x) & (y = ((a - b)/(a + b))*(x - a/(a - b))^2 + (a*(a - 2*b)/(a^2 - b^2) + 2))
con risolvente
* ((a - b)/(a + b))*(x - a/(a - b))^2 + (a*(a - 2*b)/(a^2 - b^2) + 2) - (4 - 2*x) = 0
ne abbia nullo il discriminante
* Δ(a, b) = 4*b*(2*a - b)/(a + b)^2 = 0 ≡
≡ (b = 0) oppure (b = 2*a)
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* Γ(a, 0) ≡ y = (x - 1)^2 + 3
* Γ(a, 2*a) ≡ y = (x - 1)^2 + 3
Vedi il risultato unico al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D4-2*x%2Cy%3D%28x-1%29%5E2%2B3%5D