[Risolto] FASCIO DI PARABOLE

L'esercizio presenta due consegne e i passaggi da fare sono differenti per le due fasi della risoluzione.
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Per determinare le caratteristiche del fascio i passaggi sono quelli occorrenti a ricavare dalla forma data, esplicita in y
* Γ(k) ≡ y = x^2 – 2*k*x – (k + 1)
le altre forme, utili per dedurre alcune caratteristiche.
Anzitutto quella che isola i termini parametrici
* Γ(k) ≡ (x^2 - y - 1) – k*(2*x + 1) = 0
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1) Per i problemi di tangenti, la forma normale canonica
* Γ(k) ≡ x^2 – 2*k*x - y – (k + 1) = 0
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2) Per gli zeri, la forma fattorizzata
* Γ(k) ≡ y = (x - (k - √(k^2 + k + 1)))*(x - (k + √(k^2 + k + 1)))
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3) Per il disegno e/o il calcolo per punti, la forma in funzione di apertura (a = 1) e vertice
* Γ(k) ≡ y = x^2 – 2*k*x – (k + 1) ≡
≡ y = (x - k)^2 - k^2 – (k + 1) ≡
≡ y = (x - k)^2 - (k^2 + k + 1)
da cui
* vertice V(k, - (k^2 + k + 1))
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Già questo basta per la seconda consegna: sulla bisettrice dei quadranti dispari, y = x, le coordinate sono eguali.
Il vertice V(k, - (k^2 + k + 1)) cade sulla y = x se e solo se
* k = - (k^2 + k + 1) ≡ k = - 1
da cui
* Γ(- 1) ≡ y = (x - (- 1))^2 - ((- 1)^2 + (- 1) + 1) ≡ y = (x + 2)*x
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Altre caratteristiche che possono migliorare la comprensione sono le seguenti.
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A) Luogo dei vertici
* y = - (x^2 + x + 1)
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B) Eventuali punti base (qui, uno solo)
* Γ(- 1) ≡ y = (x + 2)*x
* Γ(0) ≡ y = x^2 - 1
* Γ(- 1) & Γ(0) ≡ (y = (x + 2)*x) & (y = x^2 - 1) ≡
≡ B(- 1/2, - 3/4)