Fasci generati da due rette n.591

Scrivo l'equazione delle due rette date in forma esplicita e verifico se sono rette // o rette incidenti.

y= 1-3x

y= - x/2 - 3/2

Essendo diversi i coefficienti angolari le due rette sono incidenti e generano un fascio di rette proprio il cui centro si determina mettendo a sistema le due rette e trovando il punto d'intersezione.

{y = 1-3x

{y = - x/2 - 3/2

Da cui si ricava:

C=(1; - 2)

Il fascio di rette proprio ha equazione:

y + 2 = m*(x - 1)

La retta del fascio passante per il punto P si ottiene imponendo la condizione di appartenenza 

3= m*(4-1)

Da cui si ricava m=1.

Quindi la retta cercata ha equazione:

y= x-3

I VARI PASSAGGI (A, B, C)
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A) Risolvere il sistema delle due rette (r, s).
Se la soluzione è "impossibile", (r, s) generano il fascio improprio delle loro parallele.
Se la soluzione è "a*x + b*y + c = 0", cioè "indeterminato", (r, s) non generano alcun fascio.
Se la soluzione è "C(u, v)", cioè "determinato", (r, s) generano il fascio proprio di centro C.
Esercizio
* (r ≡ 3*x + y - 1 = 0) & (s ≡ x + 2*y + 3 = 0) ≡ C(1, - 2)
Risposta
alla seconda consegna: stabilisco che il fascio esiste ed è proprio.
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B) Scrivere l'equazione del fascio proprio di centro C(1, - 2).
Si può intendere in tre modi, in due dei quali si rappresentano tutte le rette; nel terzo una retta resta esclusa dalla rappresentazione.
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B1) Per distinzione di casi, come insieme delle rette per C(1, - 2).
* (x = 1) oppure (y = m*(x - 1) - 2)
per ogni pendenza m reale.
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B2) Annullando una combinazione lineare dei primi membri delle forme norrmali canoniche.
* a*(3*x + y - 1) + b*(x + 2*y + 3) = 0 ≡
≡ (3*a + b)*x + (a + 2*b)*y + (3*b - a) = 0
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B3) Festeggiando le nozze con i fichi secchi: è la forma degli avari.
L'avaro non vuole usare due parametri come in B2, ne vuole solo uno come in B1; ma non vuole scrivere la distinzione di casi e allora che fa? Scrive la combinazione lineare con un coefficiente unitario!
* (3*x + y - 1) + k*(x + 2*y + 3) = 0 ≡
≡ (k + 3)*x + (2*k + 1)*y + (3*k - 1) = 0
ecchissenefrega se la retta s non è rappresentabile per alcun valore di k.
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C) La retta del fascio che passa per P(4, 1) si trova sostituendo (4, 1) ad (x, y) nella rappresentazione, ricavandone k e reimmettendone il valore nella rappresentazione.
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C1) (4 = 1) oppure (1 = m*(4 - 1) - 2) ≡ m = 1
* y = 1*(x - 1) - 2 ≡ y = x - 3
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C2) (3*a + b)*4 + (a + 2*b)*1 + (3*b - a) = 0 ≡ b = - 4*a/3
* (3*a - 4*a/3)*x + (a + 2*(- 4*a/3))*y + (3*(- 4*a/3) - a) = 0 ≡
≡ (5*a/3)*(x - y - 3) = 0 ≡
≡ x - y - 3 = 0 ≡ y = x - 3
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C3) (k + 3)*4 + (2*k + 1)*1 + (3*k - 1) = 0 ≡ k = - 4/3
* (- 4/3 + 3)*x + (2*(- 4/3) + 1)*y + (3*(- 4/3) - 1) = 0 ≡
≡ (5/3)*(x - y - 3) = 0 ≡
≡ x - y - 3 = 0 ≡ y = x - 3