[Risolto] equazione del fascio di parabola passante per due punti e quella tangente alla retta.

L’equazione del fascio di parabole passanti per 2 punti dati, si può anche scrivere nel seguente modo:

y= mx+q +k(x-x1)(x-x2)

quindi consta di due parti: la prima mx+q è la retta per i due punti dati, la seconda prodotto di tre fattori: parametro k, è gli altri due sono le differenze fra la x variabile e le ascisse dei due punti dati.

A(-3,2) e B(3,-2)

E’ facile riconoscere in questo caso una retta passante per l’origine y=-2/3*x

Quindi il fascio può scriversi:

y= -2/3*x+k(x+3)(x-3)

y=-2/3*x+kx^2-9k————>y=kx^2-2/3*x-9k

dopodiché si può procedere come illustrato dal collega precedente.

{y=kx^2-2/3*x-9k

{y=-2/3*x+3

Per sostituzione:

-2/3*x+3=kx^2-2/3*x-9k

kx^2-(9k+3)=0

applicando la condizione di tangenza:

D/4=0——————->k(9k+3)=0

k=0   V    K=-1/3

Per k=0———-> ritroviamo la retta per due punti e la escludiamo.

Quindi parabola tangente: y = -1/3*x^2-2/3*x+3

 

 

 

Cominciamo ad applicare all'equazione generale y = ax^2 + bx + c

le condizioni di passaggio per A e B :

{ 2 = 9a - 3b + c

{ -2 = 9a + 3b + c

Sottraendo : 4 = 0 - 6b + 0 =>   b = 4/(-6) = -2/3

Sostituendo   2 = 9a + 2 + c =>  c = - 9a

e abbiamo così l'equazione del fascio di parabole

y = ax^2 - 2/3 x - 9a       al variare di a =/= 0

 

Per la seconda parte, l'equazione esplicita della retta é 3y = 9 - 2x ovvero  y = -2/3 x + 3

e la risolvente del sistema parabola/retta si scrive

 

a x^2 - 2/3 x - 9a = -2/3 x + 3

ax^2 - (3 + 9a) = 0   [ forma normale ]

 

imponendo D = 0 si ottiene     0^2 + 4a (9a + 3) = 0

e con a =/= 0    ciò comporta    9a = - 3 da cui     a = -1/3

 

La parabola richiesta ha dunque equazione   y = -1/3 x^2 - 2/3 x + 3.