Studia il fascio di circonferenze di equazione:
$$
(k+1) x^2+(k+1) y^2+2(k+2) x-(k+2) y=0
$$
determinando le generatrici, i punti base, l'asse radicale e le caratteristiche del fascio. Stabilisci per quali valori di $k$ l'equazione del fascio rappresenta una circonferenza non degenere.
[Fascio di circonferenze tangenti in $(0,0)$ a $y=2 x ; k \neq-1, k \neq-2$ ]
11881
punti
Livello 2
$ x^2+y^2+4x-2y+k(x^2+y^2+2x-y) = 0$
Le generatrici del fascio sono:
.
$\left\{\begin{aligned} x^2+y^2+4x-2y &= 0 \\ x^2+y^2+2x-y &= 0 \end{aligned} \right.$
Il sistema ammette un'unica soluzione x = 0 & y = 0.
Un unico punto base T(0,0) che è, quindi, il punto di tangenza per tutte le circonferenze del fascio.
.
Poniamo k = -1 nell'equazione del fascio e avremo
$2x-y=0$
.
L'asse radicale, ovvero la retta tangente a tutte le circonferenze è da considerare una circonferenza degenere e si ottiene per k = 1. (vedi punti precedenti)
L'altra circonferenza degenere è la circonferenza di centro T(0,0) e raggio nullo, quindi ha equazione
$ (x-0)^2 + (y-0)^2 = 0$
$x^2+y^2 = 0$
che si ottiene ponendo, eliminando i termini in x e y cioè k = -2 infatti
$(k+1)x^2+(k+1)y^2 + 2(k+2)x -(k+2)y = 0$
21742
punti
Livello 6
@cmc Grazie cmc mitico!
