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[Risolto] Estremi relativi di una funzione in due variabili con vincolo espresso da disequazione

  

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Il testo:

Determinare gli estremi relativi della funzione z, nell'insieme indicato:

$z=xy^2\bullet e^{x-y}, x<0$

Le derivate parziali del primo ordine;

$f'_x=e^{x-y}\bullet (1+x)y^2$

$f'_y=e^{x-y}\bullet xy(2-y)$

Cerco i punti che annullano il gradiente:

$f'_x=0$

$f'_y=0$

ottengo:

dalla prima: x=-1,y=0 

dalla seconda: x=y=0 e y=2 

per via del vincolo, accetto x=-1

e così sostituendo in 

$f'_y=e^{x-y}\bullet xy(2-y)$

ricavo y=2

e poi con l'hessiano.

Vorrei sapere se è giusto così.

Ho verificato su wolframalpha ...

@sebastiano @exprof @cenerentola

datemi una mano.

 

 

 

 

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2

"Vorrei sapere se è giusto così"
Vorrei saperlo anch'io, ma sono lento (me lo contesta anche un nipote tredicenne!): per saperlo devo rifarmi i conti con la mia lentezza.
Il tuo link a WolframAlpha dà quattro creste e un ventre, bono a sapesse! Mo si tratta di ritrovarli.
------------------------------
Da
* f(x, y) = z = (x*y^2)*e^(x - y)
mi calcolo il gradiente e i suoi zeri
* nabla[f(x, y)] = {((x + 1)*y^2)*e^(x - y), - x*y*(y - 2)*e^(x - y)}
* (((x + 1)*y^2)*e^(x - y) = 0) & (- x*y*(y - 2)*e^(x - y) = 0) ≡
≡ ((x + 1)*y^2 = 0) & (x*y*(y - 2) = 0) ≡
≡ ((x = - 1) oppure (y = 0)) & (x = 0) oppure ((x = - 1) oppure (y = 0)) & (y = 0) oppure ((x = - 1) oppure (y = 0)) & (y = 2) ≡
≡ (x = - 1) & (x = 0) oppure (y = 0) & (x = 0) oppure (x = - 1) & (y = 0) oppure (y = 0) & (y = 0) oppure (x = - 1) & (y = 2) oppure (y = 0) & (y = 2) ≡
≡ (falso) oppure (0, 0) oppure (- 1, 0) oppure (y = 0) oppure (- 1, 2) oppure (falso)
cioè gli zeri del gradiente sono sull'intero asse x e nei tre punti
* (- 1, 0), (- 1, 2), (0, 0)
------------------------------
Poi l'Hessiana
* H(x, y) = {{((x + 2)*y^2)*e^(x - y), (x + 1)*(2 - y)*y*e^(x - y)}, {(x + 1)*(2 - y)*y*e^(x - y), x*(y^2 - 4*y + 2)*e^(x - y)}}
e l'hessiano
* h(x, y) = det[H(x, y)] = - ((2*x^2 + 4*x + (y - 2)^2)*y^2)*e^(2*(x - y))
------------------------------
Poi valuto l'hessiano sugli zeri del gradiente
* h(x, 0) = - ((2*x^2 + 4*x + (0 - 2)^2)*0^2)*e^(2*(x - 0)) = 0
* h(- 1, 0) = - ((2*(- 1)^2 + 4*(- 1) + (0 - 2)^2)*0^2)*e^(2*((- 1) - 0)) = 0
* h(- 1, 2) = - ((2*(- 1)^2 + 4*(- 1) + (2 - 2)^2)*2^2)*e^(2*((- 1) - 2)) = 8/e^6 > 0
* h(0, 0) = - ((2*0^2 + 4*0 + (0 - 2)^2)*0^2)*e^(2*(0 - 0)) = 0
------------------------------
CONCLUSIONE
Hai ragione tu e WolframAlpha s'è inventato le creste (accade spesso che s'inventi qualcosa), tutte sull'asse x a meno delle approssimazioni numeriche e SENZA VENTRI INTERMEDII; chiaro sintomo di approssimazioni sballate.

ti ringrazio @exprof .

Come sempre un punto di riferimento.



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@Dany_71 mi sembra giusto fino a qui 🙂

@sebastiano ciao.

E' un pò che non faccio funzioni di due variabili (anche se questa non è troppo complessa). Prima di andare a rivedere vecchi appunti volevo una conferma rapida. 

Non conosco tutti i comandi per wolframalpha, e poi non si può avere la soluzione step by step se non sei "pro".

@Dany_71 ehm... anche io è un " po' " che non mi cimento con un esercizio di questo tipo, direi da Analisi II, estate 1994 😉 . Però le derivate parziali le so fare ancora 😁😁

Mi dispiace ma non sono capace: nel mio programmi di studi (non ho fatto il corrispondente di 'Analisi 2') questo tipo di argomenti furono solo 'sfiorati'... 

🤗 grazie comunque @cenerentola



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