[Risolto] Esercizio Teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo il rapporto tra il cateto c1 e la sua proiezione sull’ipotenusa p1 è di 5/3 e il perimetro del triangolo è di 60 cm. Calcola l’ area del triangolo.

c1^2 = p1*i

25 = 3*i

i = 8,333 = 25/3

c2 = √i^2-c1^2 = √625/9-25 = √400/9 = 20/3

k(i+c1+c2) = k(15/3+25/3+20/3) = k*60/3 = 60

k = 3 

c1 = 5k = 15 cm

c2 = 20k/3 = 20 cm 

i = k*25/3 = 25 cm 

area A = 15*10 = 150 cm^2

In un triangolo rettangolo il rapporto tra un cateto e la sua proiezione sull’ipotenusa è di

5/3 e il perimetro del triangolo è di 60 cm. Calcola l’ area del triangolo.

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Cateto minore $c= 5x$;

proiezione cateto minore $pc= 3x$;

ipotenusa $ip= \dfrac{(5x)^2}{3x} = \dfrac{25}{3}x$ (1° teorema di Euclide);

proiezione cateto maggiore $pC= \dfrac{25}{3}x-3x = \dfrac{25-9}{3}x = \dfrac{16}{3}x$;

cateto maggiore $C= \sqrt{\dfrac{25}{3}x·\dfrac{16}{3}x} = \sqrt{\dfrac{400}{9}x^2} = \dfrac{20}{3}x$ (dal 1° teorema di Euclide);

conoscendo il perimetro imposta la seguente equazione:

$\dfrac{25}{3}x+\dfrac{20}{3}x+5x = 60$

$25x+20x+15x = 180$

$60x = 180$

$x= \dfrac{180}{60}$

$x= 3$

risultati:

cateto minore $c= 5x = 5×3 = 15~cm$;

cateto maggiore $C= \dfrac{20}{3}x = \dfrac{20}{3}×3 = 20~cm$;

ipotenusa $ip=  \dfrac{25}{3}x = \dfrac{25}{3}×3 = 25~cm$;

area $A= \dfrac{C·c}{2} = \dfrac{20×15}{2} = 150~cm^2$.