[Risolto] Esercizio tangenti punti di flesso

P(x)=3x⁵+ax⁴+bx³+cx²+dx

P'(x)=15x⁴+4ax³+3bx²+2cx+d

P''(x)=60x³+12ax²+6bx+2c

Sappiamo che (0,0) ha una tangente con coefficiente angolare pari a -2, quindi P'(0)=-2, cioè d=-2, inoltre P''(0)=0, quindi c=0. Sappiamo tra l'altro che essendo anche 1 e -1 punti di flesso, abbiamo P''(1)=P''(-1)=0, da cui si trova a=0 e b=-10. Pertanto il polinomio cercato è P(x)=3x⁵-10x³-2x. L'equazione della retta tangente al grafico di una funzione f(x) in un punto P(x₁, y₁) è della forma y=f(x₁)+f'(x₁)(x-x₁). In questo caso la retta tangente nel punto (0, 0) ha equazione y=-2x; la retta tangente nel punto (1, -9) ha equazione y=-17x+8 e la retta tangente nel punto (-1, 9) ha equazione y=-17x-8. Per determinare la distanza tra le rette parallele y=-17x+8 e y=-17x-8, basta prendere un punto appartenente a una delle due rette e calcolarne la distanza dall'altra retta. Se consideriamo ad esempio il punto (0, 8) appartenente alla retta y=-17x+8, risulta che la distanza di (0, 8) dalla retta y=-17x-8 e quindi la distanza tra le due rette vale 16/√290. Non dovresti avere problemi nello studio della funzione polinomiale, quindi lo lascio a te come esercizio. Se dovessi avere problemi chiedi pure. 

Dato il generico polinomio di quinto grado con coefficiente di grado massimo pari a 3

$P(x)=3x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$
sapendo che passa per l'origine si ottiene che $e=0$.
inoltre si sa che la derivata prima nell'origine vale -2, quindi
$P'(x)=15x^4+4ax^3+3bx^2+2cx+d$
e
$P$'$(0)=-2$ pertanto $d=-2$
A questo punto calcoliamo la derivata seconda:
$P$''$(x)=60x^3+12ax^2+6bx+2c$
Sappiamo che
$P$''$(0)=0$
quindi $c=0$
Al momento il nostro $P(x)=3x^5+ax^4+bx^3-2x$

Sappiamo però anche che
$P''(1)=0$ e
$P''(-1)=0$

Quindi
$P''(1)=0$ porta a $60+12a+6b=0$

$P''(-1)=0$ porta a $-60+12a-6b=0$

Da cui si ricava $a=0$ e $b=-10$

in definitiva il polinomio cercato è

$P(x)=3x^5-10x^3-2x$ 

Il generico polinomio di quinto grado con
* grafico per l'origine [termine noto = 0]
* coefficiente direttore tre
ha la forma
* y = p(x) = 3*x^5 + a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + d*x
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Le sue due prime derivate sono
* p'(x) = 15*x^4 + 4*a*x^3 + 3*b*x^2 + 2*c*x + d
* p''(x) = 60*x^3 + 12*a*x^2 + 6*b*x + 2*c
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"ha nell'origine un flesso ... altri due flessi nei punti di ascissa 1 e -1"
* p''(- 1) = 60*(- 1)^3 + 12*a*(- 1)^2 + 6*b*(- 1) + 2*c = 0 ≡ 12*a - 6*b + 2*c - 60 = 0
* p''(0) = 60*0^3 + 12*a*0^2 + 6*b*0 + 2*c = 0 ≡ c = 0
* p''(1) = 60*1^3 + 12*a*1^2 + 6*b*1 + 2*c = 0 ≡ 12*a + 6*b + 2*c + 60 = 0
da cui
* (12*a - 6*b + 2*c - 60 = 0) & (c = 0) & (12*a + 6*b + 2*c + 60 = 0) ≡ (a = 0) & (b = - 10) & (c = 0)
* y = p(x) = 3*x^5 - 10*x^3 + d*x
* p'(x) = 15*x^4 - 30*x^2 + d
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"ha nell'origine un flesso con tangente di coefficiente angolare -2"
* p'(0) = 15*0^4 - 30*b*0^2 + d = - 2 ≡ d = - 2
da cui finalmente
* y = p(x) = 3*x^5 - 10*x^3 - 2*x
* p'(x) = 15*x^4 - 30*x^2 - 2
* p''(x) = 60*x^3 - 60*x
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"Studia e rappresenta graficamente la funzione ottenuta."
"Scrivi le tangenti nei punti di flesso"
* y = p(x) = 3*x^5 - 10*x^3 - 2*x =
= (x^4 - (10/3)*x^2 - 2/3)*x/3 =
= (u^2 - (10/3)*u - 2/3)*x/3 =
= (u - (5 - √31)/3)*(u - (5 - √31)/3)*x/3 =
= (x^2 - (5 - √31)/3)*(x^2 - (5 + √31)/3)*x/3 =
= (x + √((5 - √31)/3))*(x - √((5 - √31)/3))*(x + √((5 + √31)/3))*(x + √((5 - √31)/3))*x/3
CINQUE ZERI REALI
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* p'(x) = 15*x^4 - 30*x^2 - 2 = 0 ≡
≡ x^4 - 2*x^2 - 2/15 = 0 ≡
≡ (x^2 - (1 - √(17/15)))*(x^2 - (1 + √(17/15))) = 0 ≡
≡ (x + √(1 - √(17/15)))*(x - √(1 - √(17/15)))*(x + √(1 + √(17/15)))*(x + √(1 - √(17/15))) = 0 ≡
≡ (x^2 + √(17/15) - 1)*(x + √(1 + √(17/15)))*(x + √(1 - √(17/15))) = 0 ≡
DUE PUNTI REALI A TANGENTE ORIZZONTALE, classificati sulla derivata seconda
* p''(- √(1 + √(17/15))) ~= - 92 < 0 → massimo relativo
* p''(+ √(1 - √(17/15))) ~= + 92 > 0 → minimo relativo
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LIMITI
Ogni polinomio di grado dispari e coefficiente direttore positivo va all'infinito come la variabile.
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TRE FLESSI imposti dalle specificazioni
* y = p(- 1) = 3*(- 1)^5 - 10*(- 1)^3 - 2*(- 1) = 9 → F1(- 1, 9)
* y = p(0) = 3*0^5 - 10*0^3 - 2*0 = 0 → F2(0, 0)
* y = p(1) = 3*1^5 - 10*1^3 - 2*1 = - 9 → F3(1, - 9)
con pendenze
* p'(- 1) = 15*(- 1)^4 - 30*(- 1)^2 - 2 = - 17
* p'(0) = 15*0^4 - 30*0^2 - 2 = - 2
* p'(1) = 15*1^4 - 30*1^2 - 2 = - 17
e rette tangenti
* t1 ≡ y = + 9 - 17*(x + 1)
* t2 ≡ y = - 2*x
* t3 ≡ y = - 9 - 17*(x - 1)
Vedi il grafico al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D3*x%5E5-10*x%5E3-2*x%2C%28-y%2B9-17*%28x%2B1%29%29*%28-y-2*x%29*%28-y-9-17*%28x-1%29%29%3D0%5Dx%3D-3to3%2Cy%3D-16to16
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"determina la distanza tra le due tangenti parallele"
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La distanza del punto P(u, v) dalla retta y = m*x + q è
* d(u, v, m, q) = |(m*u + q - v)|/√(m^2 + 1)
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La distanza fra le rette parallele
* t1 ≡ y = + 9 - 17*(x + 1) = - 17*x - 8
* t3 ≡ y = - 9 - 17*(x - 1) = - 17*x + 8
è quella fra l'intercetta (0, 8) di t3 e la t1, cioè
* d(0, 8, - 17, - 8) = |(- 17*0 - 8 - 8)|/√((- 17)^2 + 1) = 8*√(2/145)