[Risolto] Esercizio sulla Trigonometria

Ma tu, prima di scrivere "Grazie ancora", l'hai letta bene la mia risposta?
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/18321/
Forse dovresti rileggerla più lentamente e APPLICARE I TRE ACCERTAMENTI.
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Per spiegare un esercizio si deve LEGGERLO LENTAMENTE e meditare su ciò che si legge; questo testo fornisce quattro informazioni esplicite (io il parametro lo chiamo k) e una implicita.
1) Si tratta del triangolo ABC
2) la cui area è S = 27*k^2
3) il cui lato AB è lungo |AB| = c = (6*√3)*k
4) il cui lato BC è lungo |BC| = a = 6*k
5) il cui lato CA è lungo |CA| = b = boh?
Meditando su questi fatti vien da chiedersi "Io l'ho studiata una qualche relazione fra le lunghezze dei lati e l'area di un triangolo?" e, se hai superato l'accertamento # 1 (conoscenza dei contenuti) la risposta è immediata "Ma sicuro, è la formula di Erone!"
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Col semiperimetro
* p = (a + b + c)/2 = (6*k + b + (6*√3)*k)/2 = b/2 + 3*(1 + √3)*k
si ha
* S = √(p*(p - a)*(p - b)*(p - c)) =
= √((b/2 + 3*(1 + √3)*k)*(b/2 + 3*(1 + √3)*k - 6*k)*(b/2 + 3*(1 + √3)*k - b)*(b/2 + 3*(1 + √3)*k - (6*√3)*k)) = 27*k^2 ≡
≡ √(- (b^4 - 288*b^2*k^2 + 5184*k^4))/4 = 27*k^2 ≡
≡ b = (6*√(4 + √3))*k
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Qui comincia la parte di trigonometria, ma per svolgerla devi aver superato tutt'e tre gli accertamenti.
Avendo i tre lati
* (a, b, c) = (6*k, (6*√(4 + √3))*k, (6*√3)*k)
il triangolo si risolve applicando due volte il Teorema di Carnot, due volte la relazione fondamentale, consultando la Tavola degli archi associati e applicando la formula di addizione del coseno.
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Il coseno richiesto è
* cos(β) = cos(π - (α + γ)) = - cos(α + γ) = sin(α)*sin(γ) - cos(α)*cos(γ)
dove
* cos(α) = (b^2 + c^2 - a^2)/(2*b*c)
* cos(γ) = (a^2 + b^2 - c^2)/(2*a*b)
* sin(α) = ± √(1 - cos^2(α))
* sin(γ) = ± √(1 - cos^2(γ))
NB: la scelta relativa ai doppi segni dev'essere tale da ottenere
* α + γ < π

chiamato k il coseno dell'angolo B

lato AC = √108a^2+36a^2-72a^2√3*k = a√144-124k = 11,136a√1,161-k

si sintetizza con k' la quantità (11,136√1,161-k)

semiperimetro p = a(3√3+3+k'/2 = a(8,2+k'/2)

a^4*27^2 = a(8,2+k'/2)*a(8,2+k'/2-5,196)*a(8,2+k'/2-3)*a(8,2+k'/2-k'/2)

27^2 = (8,2+k'/2)*(3+k'/2)*(5,2+k'/2)*8,2

....trovato k' , dalla formula k' = (11,136√1,161-k) si trova k , vale a dire il coseno cercato