esercizio sulla dinamica

Prima di iniziare con la risoluzione del problema, identifichiamo le forze che agiscono sulle masse:

Il corpo di massa $m_1$ è soggetto alla tensione della fune e alla componente parallela al piano inclinato della sua forza peso, mentre il corpo di massa $m_2$ è soggetto alla tensione della fune e alla sua forza peso. 

Adesso ragioniamo, è facile convincersi che i blocchi si muovano con la stessa accelerazione (perché se non lo facessero la corda dovrebbe allungarsi per tenerli uniti nonostante la lentezza di uno rispetto all'altro) e poi possiamo assumere che la tensione che agisce sui blocchi sia la stessa (perché non c'è attrito sul supporto della corda, altrimenti le tensioni diverse genererebbero un momento che farebbe ruotare il supporto attorno al suo asse). Scegliamo come verso positivo quello in cui agisce $\vec{g}$ e quello verso destra per l'asse orizzontale, allora abbiamo che:

$\begin{cases} m_1 g \sin \theta +T = m_1a \\ m_2 g -T=m_2a \end{cases}$

Usiamo il metodo di riduzione:

$m_1g \sin \theta +m_2g = m_1a + m_2 a$

$g(m_1 \sin \theta + m_2) = a(m_1+m_2)$

$a=\frac{g(m_1\sin\theta + m_2)}{m_1+m_2}$

$a= \frac{9.8m/s^2(6kg \cdot \sin(30^{\circ}) + 3kg)}{6kg+3kg} \approx 6.53m/s^2$

accelerazione a = g(m2+m1*sin 30°)/(m2+m1) 

a = g(2*m2)/(3*m2) = 2g/3  m/s^2 (6,53777..)

tensione T = m2*(g-a) = 3*g/3 = g Newton (9,80665..)

m1 è soggetto alla forza peso parallela al piano inclinato + la tensione T della fune che lo lega a m2;

La tensione è verso il basso del piano come F//, le due forze si sommano;

F// = m1 g sen30°;

m2 è soggetto alla forza peso F2 = m2 g - la tensione della fune T che lo lega a m1;

la tensione della fune è verso l'alto, (frena m2), quindi si sottrae al peso m2 g;

il sistema si muove verso il basso con accelerazione a;

m1 g sen30° + T = m1 a;  (1)

m2 g - T = m2 a;  (2)

T = m1 a - m1 g sen30°;   (1)  sostituiamo T nella  (2);

m2 g - (m1 a - m1 g sen30°) = m2 a;  (2) ;

m2 g - m1 a + m1 g sen30° = m2 a;  (2) ;

m2 g + m1 g sen30° = m1 a +  m2 a;  (2) ;

(m1 + m2) a = m2 g + m1 g sen30° ;  (2) ;

a = (m2 g + m1 g sen30°) / (m1 + m2);

a = 3 * 9,8 + 6 * 9,8 * 0,5) / (6 + 3);

a = 58,8 / 9 = 6,53 m/s^2; accelerazione dei blocchi legati;

T = m1 a - m1 g sen30° = 6 * 6,53 - 6 * 9,8 * 0,5 = 9,8 N ; (tensione della fune).

Ciao @greggg

guarda i bei disegni con vettori di @gabo  e  @lucianop

{x + Τ = m·a

{1/2·m·g - Τ = 1/2·m·a

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{1/2·6·9.806 + Τ = 6·a

{1/2·6·9.806 - Τ = 1/2·6·a

Risolvo ed ottengo: [a = 6.537 m/s^2 ∧ Τ = 9.806 N]