Una sfera di raggio $r_{0}$ è carica con una densità di carica non uniforme $\rho(r)=A\left(r_{0}-r\right)$. Al centro della sfera è posta una carica puntiforme $q$. Calcolare la costante $A$ tale che il campo elettrico sia nullo all'esterno della sfera. Calcolare il campo elettrico all'interno della sfera e differenza di potenziale tra il bordo della sfera $e$ un punto a distanza $r_{\theta} / 2$ dal centro $\left(q=+16 \cdot 10^{19} C , r_{0}=0.154\right.$ $n m$ ).
99
punti
Livello 0
1)
volume ---> v(r) =4*pi*r³/3 ---> dv(r) = 4*pi*3*r²*dr/3 = 4*pi*r²*dr
deve essere per Gauss sulla S(ro):
q +Qo = 0 ---> Qo = -q = intg(da 0 a ro) rho(r)dv(r) = intg(da 0 a ro) A(ro -r)4*pi*r²*dr = 4*pi*A*intg(da 0 a ro) (ro -r)r²*dr = 4*pi*A*ro^4/12
coi dati ...
-16*10^-19 = 4*pi*A*(0.154*10^-9)^4/12 ---> A = - 271.6492318691211870208 *10^19 C/m^4
2)
dal teorema di Gauss e per la simmetria sferica...
4*pi*r²*E(r) = (Q(r)+q)/eps0 --> E(r) = k*(Q(r)+q)/r²
{k = 1/(4*pi*eps0) =~ 9*10^9}
dove Q(r) = intg(da 0 a r) A(ro -x)4*pi*x²*dx = 4*pi*A*intg(da 0 a r) (ro -x)x²*dx = 4*pi*A*r^3 (4*ro - 3 r)/12 < 0 perchè A <0
3)
Vro_ro/2 = intg(da ro a ro/2) E(r) dr
5664
punti
Livello 5
