[Risolto] Esercizio su Spazi di Banach

Mostriamo che le due norme sono equivalenti, cioè proviamo che $\exists m,n > 0$ tali che:

$m \left\|f \right\|_{\infty} \leq |||f||| \leq n \left\|f \right\|_{\infty}$

e cioé

$m\cdot sup_{x\in [-1,1]} |f(x)| \leq sup_{x\in [-1,1]} |e^{2x}f(x)|\leq n \cdot sup_{x\in [-1,1]} |f(x)|$

 

Ricorda che, se $a, b >0$ allora 

$sup(a\cdot b) = sup(a) \cdot sup(b)$

Possiamo dunque dire che:

$sup_{x\in [-1,1]} |e^{2x}f(x)| = sup_{x\in [-1,1]} e^{2x} \cdot sup_{x\in [-1,1]} |f(x)| \leq e^2 sup_{x\in [-1,1]} |f(x)|$ 

Analogamente possiamo dire che:

$sup_{x\in [-1,1]} e^{2x} \cdot sup_{x\in [-1,1]} |f(x)| \geq inf_{x\in [-1,1]} e^{2x} \cdot sup_{x\in [-1,1]} |f(x)| \geq e^{-2} \cdot sup_{x\in [-1,1]} |f(x)|$

Dunque:

$e^{-2}\cdot sup_{x\in [-1,1]} |f(x)| \leq sup_{x\in [-1,1]} |e^{2x}f(x)|\leq e^2 \cdot sup_{x\in [-1,1]} |f(x)|$

 

Le due norme sono equivalenti ed essendo $(C[-1,1], \left\| \right\|_{\infty})$ spazio di Banach, lo è anche rispetto alla norma $||| \cdot |||$.

 

Noemi