Consider on $\mathcal{C}([0,1])$ the following two norms:
$$
\|f\|_{\infty}=\sup _{x \in[0,1]}|f(x)|, \quad\|f\|_1=\int_0^1|f(x)| d x .
$$
Show that $\|\cdot\|_{\infty}$ and $\|\cdot\|_1$ are not equivalent norms.
Hint: Consider the sequence $f_n(x)=x^n, n \in \mathbb{N}$, and show that the equivalence of norms fails on this sequence.
Buongiorno, nello svolgere questo esercizio non capisco come si faccia..
Ringrazio chiunque risponderà!
365
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Livello 2
Se le due norme fossero equivalenti, allora $\forall n \in N$ dovrebbe esistere $C>0$ tale che:
$\left\| x^n \right\|_{\infty} \leq C\left\| x^n \right\|_{1}$
e cioé:
$sup_{x\in [0,1]}|x^n| \leq C \int_0^1 |x^n|dx $
e dunque $\forall n$ si dovrebbe avere:
$1 \leq C \frac{1}{n+1}$
ma se $n\rightarrow +\infty$ abbiamo che $\frac{1}{n+1} \rightarrow 0$ e dunque la disuguaglianza non può essere soddisfatta per alcun $C>0$.
Dunque le norme non sono equivalenti
Noemi
9382
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Livello 5
@n_f grazie milleee❤️❤️
|| xn ||oo = sup |xn| = 1 per ogni N in [0,1] mentre
|| xn ||1 = S_[0,1] x^n dx = 1/(n+1)
e non sono uguali
38633
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Livello 7
@eidosm che le due norme non siano uguali è ovvio, ma verificando che il valore delle norme è differente non dimostri certo la loro eventuale equivalenza.
Ad esempio se consideriamo in $R^n$ le norme:
$\left\| v \right\|_{2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n|v_i|^2}$
e
$\left\| v \right\|_{\infty} = max_{i} |v_i|$
abbiamo che il valore assunto è decisamente diverso: ci basta prendere anche $v=(1,1,1)$ in $R^3$ e hai:
$\left\| v \right\|_{2} = \sqrt{3}$
$\left\| v \right\|_{\infty} = 1$
Però le norme sono equivalenti (come tutte le norme in $R^n$),
