Eccoci di nuovo!
Ti ringrazio per i quesiti che posti, questo in particolare è stato davvero divertente! 🙂
La (1) è corretta: il minimo è positivo perché le due norme sono entrambe positive. Nota che $\lambda>0$ già per ipotesi.
Anche la (2) va bene così.
Per la (3) puoi farla in modo snello direttamente come:
$\left\| \alpha f(x) \right\|_m = min \{\left\| \alpha f(x) \right\|_{\infty}, \left\| \alpha f(x) \right\|_{1,\lambda}\} =$
$min\{sup_{x\in[0,1]}|\alpha f(x)|, \lambda\int_0^1|\alpha f(x)|dx\}=$
$min\{|\alpha|sup_{x\in[0,1]}|f(x)|, \lambda|\alpha|\int_0^1|f(x)|dx\}= $
$|\alpha|min \{\left\|f(x) \right\|_{\infty}, \left\|f(x) \right\|_{1,\lambda}\}$
Per quanto riguarda la (4), fino a questo passaggio procede tutto come prima:
$\left\| f+g \right\|_m =min\{\left\| f+g \right\|_\infty, \left\| f+g \right\|_{1,\lambda}\}=$
$min\{sup_{x\in[0,1]}|f(x)+g(x)|, \lambda\int_0^1|f(x)+g(x)|dx\} \leq $
$min\{sup_{x\in[0,1]}|f(x)|+sup_{x\in[0,1]}|g(x)|, \lambda\int_0^1|f(x)|dx+\lambda\int_0^1|g(x)|dx\}$
Ora però, come facciamo ad ottenere la somma dei minimi?
Purtroppo non è vero che:
$min\{a+b, c+d\} \leq min\{a,c\} + min\{b,d\}$
che è quello che ci servirebbe.
Infatti se hai ad esempio:
$ min\{2+3; 1+5\} = min\{5,6\}= 5$
ma
$min\{2,1\}+ min\{3,5\} = 1+3 = 4$
e dunque
$min\{2+3; 1+5\} > min\{2,1\}+ min\{3,5\}$
Quindi dato che in generale non è vero, ci serve trovare un $\lambda$ adeguato per far sì che la disuguaglianza sia sempre verificata.
Nota però che se sappiamo che $c<a$ e $d<b$ e dunque ovviamente $c+d<a+b$ allora possiamo certamente dire che:
$min\{a+b,c+d\}=c+d$
e che
$min\{a,c\}+min\{b,d\}=c+d$
Dunque la seguente uguaglianza:
$ min\{a+b, c+d\} = min\{a,c\} + min\{b,d\}$ vale se $c<a$ e $d<b$.
Nel nostro caso dobbiamo quindi chiedere che valgano:
$ \lambda \int_0^1 |f(x)|dx < sup_{x\in[0,1]} |f(x)$
e
$ \lambda \int_0^1 |g(x)|dx < sup_{x\in[0,1]} |g(x)$
Ragioniamo sulla $f$, per la $g$ il discorso è del tutto analogo.
Nota che:
$\lambda \int_0^1 |f(x)|dx \leq \lambda \int_0^1 sup_{x \in [0,1]} |f(x)| dx = \lambda sup_{x \in [0,1]} |f(x)|$
Se $\lambda \leq 1$ allora possiamo scrivere ancora:
$\lambda sup_{x \in [0,1]} |f(x)| \leq sup_{x \in [0,1]} |f(x)|$
Quindi affinché valga la disuguaglianza triangolare, ci serve porre $0<\lambda\leq1$.
Noemi