Esercizio su Area triangolo mistilineo

493.

Dalla figura risulta evidente la simmetria della curva che rappresenta la funzione data, rispetto alla retta x = 2.

Ancor più evidente risulta che con una semplice traslazione otteniamo un triangolo equivalente descritto dalla funzione

$ y(x) = \sqrt{|x|}$

Osserviamo che tale funzione è pari quindi l'area sarà il doppio dell'area calcolata da 0 a ...?

Occorre determinate il punto di intersezione tra la retta parallela all'asse delle x cioè y = k e la funzione data.

Risolviamo il sistema

$ \left\{\begin{aligned} y &= k \\ y &= \sqrt{x} \end{aligned} \right. $

Abbiamo eliminato il valore assoluto poiché operiamo nel semiasse positivo delle x. 

La cui soluzione sarà

$k = \sqrt{x}$

$x = k^2$  

Calcoliamo l'area A 

$ A = 2 \int_0^{k^2} k - x^{\frac{1}{2}} \, dx $

Imponiamo che sia 16/3

$ \frac{16}{3} = 2 \int_0^{k^2} k - x^{\frac{1}{2}} \, dx $

$ \frac{8}{3} =  \int_0^{k^2} k - x^{\frac{1}{2}} \, dx $

$ \frac{8}{3} = \left. k x- \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right|_0^{k^2} $

$ \frac{8}{3} = k^3 - \frac{2}{3} k^3 $

$ \frac{8}{3} =  \frac{1}{3} k^3 $

$ 8 = k^3 $

$ k = 2$

La retta cercata ha equazione y = 2

nota. Se pensi di non poter usare la traslazione, puoi risolvere il problema sulla falsa riga mantenendo la funzione $y = \sqrt{|2-x|}$