Nella figura c'è la foto di una finestra con alcune misure riportate.
a. Scrivi l'equazione dell'ellisse nel sistema di riferimento in cui l'origine è nel centro di simmetria della figura e l'unità corrisponde a 10 cm.
b. Qual è la larghezza massima della finestra?
c. Trova la distanza dei fuochi dai vertici sull'asse y dell'ellisse.
22
punti
Livello 0
Dalla foto quotata rilevo, in unità di 10 cm, le seguenti proprietà dell'ellisse Γ
* b = 6 = asse maggiore
* A(12/5, 24/5), B(12/5, - 24/5), C(- 12/5, 24/5), D(- 12/5, - 24/5) ≡
≡ vertici del rettangolo DBAC inscritto
e ne traggo quanto segue.
---------------
Equazione
* Γ ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1 ≡ (x/a)^2 + (y/6)^2 = 1
dove
* a = asse minore = metà della risposta al quesito b.
---------------
Vincoli d'appartenenza
* D(- 12/5, - 24/5): ((- 12/5)/a)^2 + ((- 24/5)/6)^2 = 1
* B(12/5, - 24/5): ((12/5)/a)^2 + ((- 24/5)/6)^2 = 1
* A(12/5, 24/5): ((12/5)/a)^2 + ((24/5)/6)^2 = 1
* C(- 12/5, 24/5): ((- 12/5)/a)^2 + ((24/5)/6)^2 = 1
che, ovviamente per la simmetria quadrantale, hanno tutt'e quattro la medesima radice
* a = 4
da cui
* Γ ≡ (x/4)^2 + (y/6)^2 = 1
-----------------------------
RISPOSTE AI QUESITI
---------------
a) (x/4)^2 + (y/6)^2 = 1 ≡ 9*x^2 + 4*y^2 - 144 = 0
---------------
b) 2*4*10 cm = 80 cm
---------------
c) La distanza d del fuoco dal vertice adiacente è
* d = b - c
e quella D dal vertice distante è
* D = 2*b - d = 2*b - (b - c) = b + c
dove la semidistanza focale è
* c = √(b^2 - a^2) = √(6^2 - 4^2) = 2*√5
da cui
* d = b - c = (6 - 2*√5)*10 cm ~= 15.2786 cm ~= 15.3 cm
* D = b + c = (6 + 2*√5)*10 cm ~= 104.7 cm
52156
punti
Genius I
@exprof 👍👍👍
Fuochi posizionati sull'asse y
Asse maggiore 2b = 120/10 = 12
Quindi
b=6 (semiasse maggiore)
L'equazione della conica è:
x²/a² + y²/36 = 1
Imponendo la condizione di appartenenza del punto (12/5;24/5) si ricava il valore del semiasse minore
a=4 (semiasse minore)
L'equazione cercata è:
x²/16 + y²/36 = 1
La larghezza massima coincide con l'asse minore 2a= 4*2 = 8
La finestra ha larghezza massima 8*10= 80 cm
Vertici sull'asse y: V12 = (0; ±6)
Fuochi sull'asse y: F12 = (0; ± radice (b²-a²) = (0;2*radice 5)
Distanza:
75846
punti
Genius II
