Esercizio punto di accumulazione

Problema:

Verifica che il punto $x_0$ è un punto di accumulazione per l'insieme dato. 

$F=\{x: x=\frac{4n-5}{n-1}, n \in \mathbb{N} \setminus \{ 0, 1\} \}$, $x_0=4$.

Soluzione:

Conviene esplicitare l'insieme per capire meglio come trattarlo:

$F=\{ 3, \frac{7}{2}, \frac{11}{3}, ...\}$.

Si nota che per $n \to \infty$ si ha $x=4$, ciò significa che $x_0$ potrebbe essere un punto di accumulazione.

Per verificarlo si costruisce una palla intorno a $x_0=4$ di raggio arbitrario $\epsilon$.

Si ha che $x \in B_\epsilon(4)$ se e solo se $4-\epsilon < x< 4+ \epsilon$, ossia se si ha 

$4-\epsilon < \frac{4n-5}{n-1} < 4+ \epsilon$

Si analizzano separatamente le disuguaglianze:

$4-\epsilon < \frac{4n-5}{n-1} \implies n<1 \cup n> \frac{1}{\epsilon}+1$, si ha che $n<1$ non è accettabile per come è definito $F$.

$\frac{4n-5}{n-1} < 4+ \epsilon \implies n<1-\frac{1}{\epsilon} \cup n>1$, anche in questo caso vale solo $n>1$.

Considerando quanto trovato si ha che si deve avere $n>1+ \frac{1}{\epsilon}$.

Ciò significa che per qualunque $n>1+\frac{1}{\epsilon}$, si hanno elementi di $F$ in $B_\epsilon(4)$, quindi $F \cap( B_\epsilon(4) \setminus \{4\} )\neq \emptyset$. Questa è la definizione di punto di accumulazione, quindi $x_0=4$ è punto di accumulazione per $F$. 

Sia l'insieme F definito come

$ F = \left\{ x: x = \frac{4n-5}{n-1}, \; n\in \mathbb{N} \setminus \{0,1\} \right\} $.

x₀ è un punto di accumulazione per l'insieme F se

$ \forall r > 0  \quad \exists x\in F, x \ne x_0 \; : \; x \in (x_0-r, x_0+r)$ cioè 

dato un generico raggio r esiste almeno un punto dell'insieme F che sta nell'intervallo $(x_0-r, x_0+r)$

Osserviamo che i punti x sono tutti minori di 4, infatti

$ \frac{4n-5}{n-1} < 4$
$ 4n-5 < 4n-4$     Vero!

questo significa che i punti di F sono da cercare nel sotto-intervallo $(x_0-r, x_0)$

$ 4-r < x < 4 $

Abbiamo già dimostrato che x < 4 quindi rimane da verificare la disequazione

$ 4-r < \frac{4n-5}{n-1}$
$ 4n-4-rn+r < 4n -5$
$ 1 < r(n-1) $
$ n-1 > \frac{1}{r} $

$ n > 1 + \frac{1}{r} $

quindi è sufficiente considerare i punti che si ottengono per $ n > 1 + \frac{1}{r} $.

Oss. dato r,  i punti che soddisfano la disequazione sono infiniti sebbene la definizione richieda di trovarne almeno 1.