Esercizio pitagora e euclide

AM = BH+7

HM = 7 (AM = BM, essendo entrambi raggi della semi-circonferenza)

2BH = AH+12

r^2-7^2 = (2(r-7)-12)^2

r^2-49 = (2r-26)^2

r^2-49 = 4r^2+676-104r

3r^2+725-104r = 0 

raggio r = (104±√104^2-725*12)/6 = 25,0 ; 29/3

AM = 25

BH = 25-7 = 18 

AH = 2BH-12 = 36-12 = 24 

AH = √25^2-7^2 = 24,0  ok!!

area triangolo ABC = 50*12 = 600  cm^2

i triangoli ABC ed MCK sono simili per avere 2(e quindi 3) angoli uguali, un rapporto di similitudine k = 2 ed un rapporto areale k^2 = 4 

area ABMK = area ABC*(1-1/4) = 450 cm^2

area AHMK = area ABMK-area ABH = 450-18*12 = 234 cm^2

Abbiamo:

ΑΜ = ΒΜ = CΜ = r = x + 7 (in cm)

ΒΗ = x = r - 7 (deducibile dal testo)

ΗΜ = 7 cm (per conseguenza)

ΑΗ = y = 2·x - 12 (altezza relativa ipotenusa : dal testo)

Th Pitagora applicato al triangolo rettangolo AHM:

(2·x - 12)^2 + 7^2 = (x + 7)^2

(4·x^2 - 48·x + 144) + 49 = x^2 + 14·x + 49

3·x^2 - 62·x + 144 = 0

Risolvo ed ottengo:

x = 8/3 cm ∨ x = 18 cm

Scarto la prima perché deve essere:

2·x - 12 > 0----> x > 6 cm

ΒC = 2·r = 2·(18 + 7) = 50 cm= ipotenusa triangolo rettangolo ABC

1° Th Euclide:

ΑΒ^2 = 50·18-----> ΑΒ = √(50·18)---> ΑΒ = 30 cm

Pitagora:

ΑC= √(50^2 - 30^2)----> AC = 40 cm

ΑΚ = 40/2 = 20 cm

A(ΑΗΜ) = area triangolo rettangolo AHM

A(ΑΗΜ)= 1/2·7·(2·18 - 12) = 84 cm^2

A(ΑΜΚ) = area triangolo rettangolo AMK

ΜΚ = √(25^2 - 20^2)= 15 cm

A(ΑΜΚ)= 1/2·15·20 = 150 cm^2

A(AHMK)=84 + 150 = 234 cm^2