Esercizio n. 225 su triangolo con angoli base 45°/60°e cerchio circoscritto

Combinando R = abc/(4S)  con S = 1/2 ab sin gamma

R = abc/[1/2*4 ab sin gamma] = c/(2 sin gamma)

c = 2R sin gamma

e analogamente

a = 2R sin alfa

b = 2R sin beta

e infine sommando

P = 2R ( sin alfa + sin beta + sin (alfa + beta) ) =

= 16 rad(6) ( rad(2)/2 + rad(3)/2 + rad(2)/2 * 1/2 + rad(2)/2 * rad(3)/2 )

e da qui é solo algebra

P = 8 rad 12 + 8 rad 18 + 4 rad 12 + 4 * 6 =

= 12 rad 12 + 8 rad 18 + 24 =

= 12*2 rad 3 + 8*3 rad 2 + 24 =

= 24 ( 1 + rad 2 + rad 3 )

Nella nomenclatura standard del triangolo di vertici {A, B, C} i lati opposti sono {a, b, c} e gli angoli interni {α, β, γ}.
In questo caso, il triangolo ABC è scaleno sulla base c = |AB|; con i lati obliqui a = |BC| e b = |AC|; con gli angoli (α, β, γ) = (45, 60, 75)°.
Detto H il il piede su AB dell'altezza tirata da C, nomino p = |AH| e q = |HB|.
Traccia il disegno come descritto!
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Il triangolo AHC è metà quadrato: p = h = b/√2.
Il triangolo HBC è metà equilatero: a = 2*q = b/(√3/2).
* (c = p + q > 0) & (p = h = b/√2 > 0) & (a = 2*q = b/(√3/2) > 0) ≡
≡ (q > 0) & (a = 2*q) & (b = (√3)*q) & (c = (1 + √(3/2))*q) & (h = p = √(3/2)*q)
quindi
* perimetro = a + b + c = (3 + √(3/2) + √3)*q
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Il circumraggio R del triangolo di lati {a, b, c} è il rapporto fra il prodotto dei lati e il quadruplo dell'area S
* S = √((a + b + c)*(- a + b + c)*(a - b + c)*(a + b - c))/4
cioè
* R = a*b*c/(4*S) = a*b*c/√((a + b + c)*(- a + b + c)*(a - b + c)*(a + b - c))
che, con le espressioni di cui sopra, diventa
* R = a*b*c/(4*S) = a*b*c/√((a + b + c)*(- a + b + c)*(a - b + c)*(a + b - c)) =
= 2*q*(√3)*q*(1 + √(3/2))*q/√((2*q + (√3)*q + (1 + √(3/2))*q)*(- 2*q + (√3)*q + (1 + √(3/2))*q)*(2*q - (√3)*q + (1 + √(3/2))*q)*(2*q + (√3)*q - (1 + √(3/2))*q)) =
= (3*√2 + 2*√3)*q^3/√((3/4)*(29 + 12*√6)*q^4) ≡
≡ R = 2*√(2*(2*√6 - 1)/23)*q
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La condizione R = 8*√6 cm pone il vincolo
* R = 2*√(2*(2*√6 - 1)/23)*q = 8*√6
da cui
* q = 4*√(3 + 6*√6)
* perimetro = (3 + √(3/2) + √3)*4*√(3 + 6*√6) = 2*(6 + 2*√3 + √6)*√(3 + 6*√6) ~= 100 cm

II Metodo - senza trigonometria come richiesto

Chiamo h l'altezza relativa al lato c (opposto all'angolo maggiore)

Per le proprietà elementari dei triangoli notevoli posso scrivere che

h = a rad(3)/2 = b rad(2)/2 => a rad(3) = b rad(2)

b = a rad(3/2)

Ora se h = a rad(3)/2

sarà pure S = 1/2 c a rad(3)/2=> 4S = ac rad(3)

R = a b c/(4S) = a b c ( a c rad(3) ) = 8 rad(6)

b/rad(3) = 8 rad(6) => b = 8 rad(18) = 24 rad(2)

a = 24 rad(2) rad(2)/rad(3) = 48/rad(3) = 16 rad(3)

Infine

c = ca + cb = a*1/2 + b*rad(2)/2 =

= 8 rad(3) + 24 rad(2) * rad(2)/2 = 8 rad(3) + 24

P = a + b + c = 16 rad(3) + 24 rad(2) + 8 rad(3) + 24 =

= 24 ( rad(3) + rad(2) + 1 ).