Esercizio Meccanica Newtoniana

Il lavoro é uguale alla variazione di energia cinetica

P t = 1/2 m v^2 - 1/2 m vo^2     in ogni istante, con vo = 0

per cui   1/2 m v^2 = P t

v = rad(2Pt /m)

Integrando tra 0 e T

S_[0,T] rad(2Pt/m) dt = D

da qui ricavi T e poi sostituisci per avere v(T).

 

Operativamente    (2P/m)^(1/2) * S_[0,T] t^(1/2) dt = D

 

T^(3/2)/(3/2) = D * (m/(2P))^(1/2)

T^3 = (3/2)^2 D^2 * m/(2P)

T^3 = 9/8 mD^2/P

T = 1/2 rad_3 (9 mD^2/P) = 1/2 rad_3 (9* 1000* 100^2)/50000) s = 6.08 s

 

e infine vf = sqrt (2*50000*6.08/1000) m/s = 24.662 m/s o 88.8 km/h

 

NON OCCORRE IMPOSTARE NULLA in quanto, per il combinato disposto del Titolo ("Meccanica Newtoniana") e della Consegna ("Trascurando gli attriti si calcoli la velocità alla fine del rettilineo"), la risposta si produce per ispezione (ictus oculi): «la velocità alla fine del rettilineo, non potendo esistere, non si può calcolare».
Quest'esercizio è una classica "domanda trabocchetto" che si propone alle persone di più alte prestazioni per poterle gratificare di un voto premiale se, scorgendo il trabocchetto, lo evitano ed hanno il coraggio di consegnare una risposta apparentemente illogica, ma l'unica esatta: da pieni voti.
Nella "Meccanica Newtoniana" valgono i tre principi eponimi ("Tutto accade come se ...") e in particolare il terzo ("Actioni contrariam semper et equalem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse aequales et in partes contrarias dirigi"): intanto il mobile semovente riesce a muoversi in quanto i suoi 50 kW possono scaricarsi PER ATTRITO sul mezzo circostante (al suolo, se è un mezzo terrestre; o sull'acqua, se è un hovercraft; o nell'acqua, se è un natante; o in aria, se è un aeromobile); se l'attrito è insufficiente allora il motore si degrada come stufetta.
La specificazione "Trascurando gli attriti" li rende sicuramente insufficienti a compiere un qualsiasi lavoro: l'automezzo non si sposterà dalla sua posizione slittando in loco e alla fine del rettilineo la velocità di spostamento sarà solo quella di qualcun altro che l'attrito lo usa.

 

Potenza = 50 000 W;

La potenza è il lavoro fatto in un secondo di tempo.
P = L / t;

L = P * t;

L = 50 000 * t;

L = 1/2 m v^2 - 1/2 m vo^2; teorema dell'energia cinetica. vo = 0 m/s, auto ferma.

v finale = v;

L = 1/2 m v^2;

50 000 * t = 1/2 m v^2;

a = (v - vo)/t;

v = a * t;  (v finale);

mi dicono che a non è costante, quindi non è corretto.

 

50 000 * t = 1/2 * 1000 * v^2;

m = 1000 kg;

v^2 = 2 * 50 000 t /1000;

v = radicequadrata(100 * t);

v = 10 * t^(1/2); v è la derivata dello spazio in funzione del tempo v = dS / dt.

dS/dt = 10 * t^(1/2);

dS = 10 * t^(1/2) * dt; occorre integrare: Lo spazio è l'integrale della velocità rispetto al tempo.

S = ∫[10 t^(1/2)] dt;  (integrale da 0 a T finale);

S = 10 * ∫[t^(1/2)] dt = 10 * [t^(1/2+1) /(1/2+1)];    (da 0 a T);

S =  T^(3/2) * 10 /(3/2);

S * 3/2  = T^(3/2) * 10 

Spostamento finale = 100 m;

100 * 3/2 = 10 * T^(3/2) ;

T ^(3/2) = 3/2 * 100  /10;

T^(3/2) = 30/2 = 50;

T = 50^(2/3) = 13,6 s; tempo di accelerazione;

P * T = L;

L = 50 000 * 13,6 = 6,8 * 10^5 J

1/2 m v^2 = L

v = radicequdrata(2 * L / m) = radice(2 * 6,8 * 10^5 / 1000);

v = radice(1360) = 36,9 m/s; (velocità finale).

 

Se considero a costante;

S = 1/2 a t^2; moto accelerato;

1/2 a t^2 = 100;

a = 2 * 100 / t^2;

a = 200 / t^2

50 000 * t = 1/2 * 1000 * (a^2 * t^2);

50000 * t = 500 * a^2  t^2;

50 000 = 500 a^2 * t;

50 000 = 500 * (200/t^2)^2 * t;

50 000 / 500 = (40 000 /t^4)  * t;

100 = 40 000 / t^3;

t^3 = 40 000 / 100;

t^3 = 400;

t = radice cubica(400) = 7,37 s;

L = 50 000 * 7,37 = 3,684 * 10^5 J;

Il lavoro è: L = Forza * Spostamento; L = m * a * S

F = L / S = 3,684 * 10^5 / 100 = 3684 N;

a = F / m = 3684 / 1000 = 3,68 m/s^2;

v = a * t = 3,68 * 7,37 = 27,1 m/s;

velocità finale = 27,1 * 3,6 = 98 km/h (circa).

Senza integrali.

Ciao @braian

 

 

 

Un auto di una tonnellata, inizialmente ferma, viene accelerata per 100 metri in modo fa mantenere la potenza del motore costante P=50kW. Trascurando gli attriti si calcoli la velocità alla fine del rettilineo.

V = √608,5 = 24,67 m/sec (88,80 km/h)

 

Vorrei fare una postilla a questo problema : la potenza costante non si applica mai all'intero range di giri ( a velocità prossime a zero la forza tenderebbe ad infinito) e questo lo dovrebbe saper bene chi formula problemi di questa natura !!