esercizio goniometria

Determinazione dei coefficienti a,b,c

y = a·SIN(x)^2 + b·SIN(x)·COS(x) + c

passa per i tre punti:

[pi/4, √2]

[- pi/4, - √2]

[0, - √2]

Quindi scriviamo il sistema:

{√2 = a·SIN(pi/4)^2 + b·SIN(pi/4)·COS(pi/4) + c

{- √2 = a·SIN(- pi/4)^2 + b·SIN(- pi/4)·COS(- pi/4) + c

{- √2 = a·SIN(0)^2 + b·SIN(0)·COS(0) + c

Quindi:

{a/2 + b/2 + c = √2

{a/2 - b/2 + c = - √2

{c = - √2

Risolvo ed ottengo: [a = 2·√2 ∧ b = 2·√2 ∧ c = - √2]

funzione: y = 2·√2·SIN(x)·COS(x) + 2·√2·SIN(x)^2 - √2

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C.E. ed insieme immagine

Il primo è chiaramente R essendo la funzione  di tipo sinusoidale.

Per l'insieme immagine scrivo il sistema:

{y = 2·√2·SIN(x)·COS(x) + 2·√2·SIN(x)^2 - √2

{y = k

per cui si ha:  2·√2·SIN(x)·COS(x) + 2·√2·SIN(x)^2 = √2 + k

e vado a vedere le rette tangenti y = k alla funzione goniometrica quindi in definitiva aggiungo la condizione y' =0 con la relazione fondamentale della trigonometria.

{2·√2·Υ·Χ + 2·√2·Υ^2 = √2 + k

{4·√2·Χ^2 + 4·√2·Υ·Χ - 2·√2 = 0

{Υ^2 + Χ^2 = 1

(avendo posto Υ = SIN(x) e Χ = COS(x))

Risolto fornisce:

k = 2 ∧ Υ = √(√2 + 2)/2 ∧ Χ = √(2 - √2)/2;

k = 2 ∧ Υ = - √(√2 + 2)/2 ∧ Χ = - √(2 - √2)/2;

k = -2 ∧ Υ = √(2 - √2)/2 ∧ Χ = - √(√2 + 2)/2;

k = -2 ∧ Υ = - √(2 - √2)/2 ∧ Χ = √(√2 + 2)/2

I valori estremi di k forniscono l'insieme immagine: [-2; 2]