Esercizio geometria

Problema:
Sia
\[
B=\begin{pmatrix}
0 & -1 & -1 & -1\\
-1&0&0&0\\
-1&0&1&1\\
-1&0&1&1
\end{pmatrix}\in M_4(\mathbb R).
\]
Determinare una matrice invertibile \(M\in GL_4(\mathbb R)\) tale che
\[
M^{T}BM
\]
sia diagonale.

Soluzione:
Poiché \(B\) è reale e simmetrica, per il teorema spettrale esiste una matrice ortogonale \(Q\in O(4)\subset GL_4(\mathbb R)\) che diagonalizza \(B\). In particolare, se \(\lambda_1,\dots,\lambda_4\) sono gli autovalori reali di \(B\) e \(v_1,\dots,v_4\) un sistema ortonormale di autovettori, ponendo
\[
M=\bigl[v_1\;\;v_2\;\;v_3\;\;v_4\bigr],
\]
si ha
\[
M^{T}BM=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4).
\]

Bisogna trovare gli autovalori tramite \((B-\lambda I)v=0\), ti lascio i conti.

Si sceglie un sistema ortonormale di autovettori.

Definendo
\[
M=\bigl[v_1\;v_2\;v_3\;v_4\bigr],
\]
si ottiene \(M\in O(4)\subset GL_4(\mathbb R)\) e
\[
M^{T}BM
=\begin{pmatrix}
\lambda_1&0&0&0\\
0&\lambda_2&0&0\\
0&0&\lambda_3&0\\
0&0&0&\lambda_4
\end{pmatrix}
\]

L’ortogonalità di \(M\) garantisce \(M^T=M^{-1}\) e quindi \(M^TBM\) è diagonale.