Esercizio di geometria 1
Esercizio di geometria 1
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Livello 1
Problema:
Dedurre dal teorema di scambio che ogni insieme di generatori di $\mathbb{R}^n$ contiene almeno $n$ vettori.
Soluzione:
Teorema di scambio: Sia $V$ uno spazio vettoriale. Se $\{v_1, \dots, v_k\}$ è un sistema di generatori di $V$ e $\{w1, \dots w_m\}$ è un insieme di vettori linearmente indipendenti di $V$, allora $m≤k$.
Praticamente il teorema afferma che non puoi avere più vettori linearmente indipendenti che generatori. Da ciò si può anche dedurre che l'insieme generatore minimo è costituito da solamente vettori linearmente indipendenti. Infatti è ciò che bisogna dimostrare.
Si considera lo spazio vettoriale $V=\mathbb{R}^n$, si vuole mostrare che se $G=\{g_1, \dots, g_m\}$ genera $V$, allora $m≥n$.
Presa una base di $V$ nota, ad esempio la base canonica $\mathcal{E}=(e_1, \dots, e_n)$, per il teorema di scambio vale che $n≤m$ dato che una base per definizione è un generatore costituito da vettori linearmente indipendenti.
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Livello 6