Non é facile. Se vuoi provo a scriverlo ma per me é stato faticoso
mettere la soluzione nella forma data dal testo.
Prima parte : impostazione
Considerando 0 < x < pi/2
preliminarmente scriviamo il teorema dei seni sul triangolo APB
a/sin (pi - (pi/4 + x)) = PA/sin (pi/4) = PB/sin x
e da qui deduciamo
PA = rad(2)/2 a/sin (pi/4 + x)
PB = a sin x/sin (pi/4 + x)
e possiamo già dire che pi/4 + x cade nel I o nel II quadrante
per cui il seno che sta a denominatore é positivo
Osserviamo inoltre che per simmetria della figura PC = PA
mentre PD = a rad(2) - PB
Pertanto la disequazione originaria data dalla traccia diventa prima
PA + PB + PA >= 2( a rad(2) - PB )
2 PA + 3 PB >= 2 a rad (2)
a * rad(2)/2 / sin (pi/4 + x) + 3 a sin x / sin (pi/4 + x) >= 2 a rad(2)
e poi
rad(2) + 3 sin x >= 2 rad(2) *( rad(2)/2 sin x + rad(2)/2 cos x )
rad(2) + 3 sin x >= 2 sin x + 2 cos x
sin x - 2 cos x >= - rad(2) con 0 < x < pi/2
Parte seconda : risoluzione
Usando le formule parametriche con tg x/2 = t
2t/(1+t^2) - 2*(1-t^2)/(1 + t^2) >= - rad(2)
2t - 2 + 2t^2 >= - rad(2) - rad(2) t^2
(2 + rad(2)) t^2 + 2t - (2 - rad(2)) >= 0
le radici sono
t = [ -1 +- rad (1 + 4 - 2) ]/(2 + rad(2) )
e quindi
t >= (rad(3) - 1)/(2 + rad(2))
ho preso solo l'intervallo destro perché
l'altro essendo costituito da valori negativi non é
compatibile con la condizione 0 < x < pi/2
pertanto la soluzione può essere riscritta come
2 arctg* (rad(3) -1)/(2 + rad(2)) <= x < pi/2
Parte terza : raccordo con la risposta
prendendo l'estremo inferiore dell'intervallo
tg(x*/2) = (rad(3) - 1)/(2 + rad(2))
cos x* = (1 - t^2)/(1 + t^2) =
= [ 1 - ((rad(3) -1)/(2 + rad(2)))^2]/[ 1 - ((rad(3) -1)/(2 + rad(2)))^2] =
= (4 + 2 + 4 rad(2) - 3 - 1 + 2 rad(3))/(4 + 2 + 4 rad(2) + 3 + 1 - 3 rad(3)) =
= (2 + 4 rad(2) + 2 rad(3))/(10 + 4 rad(2) - 2 rad(3)) =
= (1 + 2 rad(2) + rad(3))/(5 + 2 rad(2) - rad(3)) =
= (1 + 2 rad(2) + rad(3))/(5 + 2 rad(2) - rad(3)) *
*(5 + 2 rad(2) + rad(3))/(5 + 2 rad(2) + rad(3)) =
= ( 5 + 2 rad(2) + rad(3) + 10 rad(2) + 8 + 2 rad(6) + 5 rad(3) + 2 rad(6) + 3)/
/(25 + 8 + 20 rad(2) - 3) =
= (16 + 12 rad(2) + 6 rad(3) + 4 rad(6))/(30 + 20 rad(2)) =
= (8 + 6 rad(2) + 3 rad(3) + 2 rad(6))(15 - 10 rad(2))/(225 - 200) =
= 5/25 * [(8 + 6 rad(2) + 3 rad(3) + 2 rad(6))*(3 - 2 rad(2))] =
= (24 - 16 rad(2) + 9 rad(3) - 6 rad(6) - 24 + 18 rad(2) + 6 rad(6) - 8 rad(3))/5 =
= (2 rad(2) + rad(3))/5