Esercizio di Trigonometria

Non é facile. Se vuoi provo a scriverlo ma per me é stato faticoso

mettere la soluzione  nella forma data dal testo.

Prima parte : impostazione

Considerando 0 < x < pi/2

preliminarmente scriviamo il teorema dei seni sul triangolo APB

a/sin (pi - (pi/4 + x)) = PA/sin (pi/4) = PB/sin x

e da qui deduciamo

PA = rad(2)/2 a/sin (pi/4 + x)

PB = a sin x/sin (pi/4 + x)

e possiamo già dire che pi/4 + x cade nel I o nel II quadrante

per cui il seno che sta a denominatore é positivo

Osserviamo inoltre che per simmetria della figura PC = PA

mentre PD = a rad(2) - PB

Pertanto la disequazione originaria data dalla traccia diventa prima

PA + PB + PA >= 2( a rad(2) - PB )

2 PA + 3 PB >= 2 a rad (2)

a * rad(2)/2 / sin (pi/4 + x) + 3 a sin x / sin (pi/4 + x) >= 2 a rad(2)

e poi

rad(2) + 3 sin x >= 2 rad(2) *( rad(2)/2 sin x + rad(2)/2 cos x )

rad(2) + 3 sin x >= 2 sin x + 2 cos x

sin x - 2 cos x >= - rad(2) con 0 < x < pi/2

Parte seconda : risoluzione

Usando le formule parametriche con tg x/2 = t

2t/(1+t^2) - 2*(1-t^2)/(1 + t^2) >= - rad(2)

2t - 2 + 2t^2 >= - rad(2) - rad(2) t^2

(2 + rad(2)) t^2 + 2t - (2 - rad(2)) >= 0

le radici sono

t = [ -1 +- rad (1 + 4 - 2) ]/(2 + rad(2) )

e quindi

t >= (rad(3) - 1)/(2 + rad(2))

ho preso solo l'intervallo destro perché

l'altro essendo costituito da valori negativi non é

compatibile con la condizione 0 < x < pi/2

pertanto la soluzione può essere riscritta come

2 arctg* (rad(3) -1)/(2 + rad(2)) <= x < pi/2

Parte terza : raccordo con la risposta

prendendo l'estremo inferiore dell'intervallo

tg(x*/2) = (rad(3) - 1)/(2 + rad(2))

cos x* = (1 - t^2)/(1 + t^2) =

= [ 1 - ((rad(3) -1)/(2 + rad(2)))^2]/[ 1 - ((rad(3) -1)/(2 + rad(2)))^2] =

= (4 + 2 + 4 rad(2) - 3 - 1 + 2 rad(3))/(4 + 2 + 4 rad(2) + 3 + 1 - 3 rad(3)) =

= (2 + 4 rad(2) + 2 rad(3))/(10 + 4 rad(2) - 2 rad(3)) =

= (1 + 2 rad(2) + rad(3))/(5 + 2 rad(2) - rad(3)) =

= (1 + 2 rad(2) + rad(3))/(5 + 2 rad(2) - rad(3)) *

   *(5 + 2 rad(2) + rad(3))/(5 + 2 rad(2) + rad(3)) =

= ( 5 + 2 rad(2) + rad(3) + 10 rad(2) + 8 + 2 rad(6) + 5 rad(3) + 2 rad(6) + 3)/

   /(25 + 8 + 20 rad(2) - 3) =

= (16 + 12 rad(2) + 6 rad(3) + 4 rad(6))/(30 + 20 rad(2)) =

= (8 + 6 rad(2) + 3 rad(3) + 2 rad(6))(15 - 10 rad(2))/(225 - 200) =

= 5/25 * [(8 + 6 rad(2) + 3 rad(3) + 2 rad(6))*(3 - 2 rad(2))] =

= (24 - 16 rad(2) + 9 rad(3) - 6 rad(6) - 24 + 18 rad(2) + 6 rad(6) - 8 rad(3))/5 =

= (2 rad(2) + rad(3))/5

Conservo l'essenza del problema, ma ne adeguo la formulazione alle idiosincrasie mie perché quelle dell'autore mi mettono a disagio e mi fanno ragionare peggio del solito.
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Nel quadrato ABCD, di lato L, nomino P il cursore della diagonale BD e nomino θ (0 <= θ <= π/2) l'angolo PAB sotto il quale dal vertice A si vede il segmento BP.
Si chiede di determinare i valori di θ che verificano la disequazione
* |PA| + |PB| + |PC| >= 2*|PD|
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Nel riferimento Oxy definito dai punti
* A(0, 0), B(L, 0), C(L, L), D(0, L)
risulta, per k ∈ [0, 1], quanto segue.
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* P = B + k*(D - B) = ((1 - k)*L, k*L)
* AP ≡ y = k*x/(1 - k)
* θ = arctg(k/(1 - k))
* |PA| = |PC| = L*√(2*k^2 - 2*k + 1)
* |PB| = L*(√2)*k
* |PD| = L*(√2)*(1 - k)
quindi
* |PA| + |PB| + |PC| >= 2*|PD| ≡
≡ √(2*k^2 - 2*k + 1) + (√2)*k + √(2*k^2 - 2*k + 1) >= 2*(√2)*(1 - k) ≡
≡ 2*√(2*k^2 - 2*k + 1) + (√2)*k - 2*(√2)*(1 - k) >= 0 ≡
≡ 5*k^2 - 8*k + 2 <= 0 ≡
≡ (4 - √6)/5 <= k <= (4 + √6)/5 ~≡
~≡ 0.31 <= k <= 1.29
cioè, alla luce del significato geometrico di P (k ∈ [0, 1])
* |PA| + |PB| + |PC| >= 2*|PD| ≡
≡ (4 - √6)/5 <= k <= 1
da cui
* (4 - √6)/5 <= k <= 1
e, tenendo conto che l'arcotangente è crescente ovunque,
* arctg(((4 - √6)/5)/(1 - (4 - √6)/5)) <= θ <= arctg(1/(1 - 1)) ≡
≡ arctg(√6 - 2) <= θ <= π/2
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Ti lascio tutto il piacere di ritrovare la forma del risultato atteso.
Vedi http://www.wolframalpha.com/input?i=simplify+arccos%28%282*%E2%88%9A2%2B%E2%88%9A3%29%2F5%29%3Darctg%28%E2%88%9A6-2%29

Triangolo APB

Gli angoli interni ad esso sono: x ; pi/4 ; 3·pi/4 - x

Th seni:

ΡΒ/SIN(x) = a/SIN(3·pi/4 - x)

ΡΑ/SIN(pi/4) = a/SIN(3·pi/4 - x)

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ΡΒ = a/SIN(3·pi/4 - x)·SIN(x)

ΡΑ = a/SIN(3·pi/4 - x)·SIN(pi/4) = ΡC

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ove:

SIN(3·pi/4 - x) =

=SIN(3/4·pi)·COS(x) - SIN(x)·COS(3/4·pi)

SIN(3·pi/4 - x) = √2·COS(x)/2 + √2·SIN(x)/2

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Sviluppando si ottiene:

ΡΒ = √2·a·SIN(x)/(COS(x) + SIN(x))

ΡΑ = ΡC = a/(COS(x) + SIN(x))

Al 1° membro della disequazione proposta abbiamo quindi:

√2·a·SIN(x)/(COS(x) + SIN(x)) + 2·a/(COS(x) + SIN(x)) =

=√2·a·(SIN(x) + √2)/(COS(x) + SIN(x))

Al 2° membro della disequazione proposta abbiamo:

2·ΡD = 2·(√2·a - √2·a·SIN(x)/(COS(x) + SIN(x)))=

=2·√2·a·COS(x)/(COS(x) + SIN(x))

Ne consegue che:

√2·a·(SIN(x) + √2)/(COS(x) + SIN(x)) ≥ 2·√2·a·COS(x)/(COS(x) + SIN(x))

tenendo presente che nell'intervallo considerato 0 ≤ x ≤ pi/2   risulta:

COS(x) + SIN(x) > 0

√2·a·(SIN(x) + √2) ≥ 2·√2·a·COS(x)

semplificando ancora:

SIN(x) - 2·COS(x) ≥ - √2

Risolvo graficamente:

{Υ - 2·Χ ≥ - √2

{Υ^2 + Χ^2 = 1

Con le condizioni:

SIN(x)=Y ≥ 0

COS(x) =X ≥ 0

Si ottiene la soluzione nel 1° quadrante:

Il punto A ha coordinate.

{Υ - 2·Χ = - √2

{Υ^2 + Χ^2 = 1

Υ = (2·√3 - √2)/5 ∧ Χ = (√3 + 2·√2)/5

da cui la soluzione cercata: ACOS((√3 + 2·√2)/5) ≤ x ≤ pi/2