Esercizio di trigonometria

Rivedi i calcoli. Fai riferimento alla figura:

Considera quindi il triangolo ABC. Devi scrivere la somma:

f(x) = 2·b + 3·a

Il lato c è dato da:

c = 2·ΑΗ = 2·ΒΗ

c = 2·√(r^2 - (r/2)^2)----> c = 2·(√3·r/2)---> c = √3·r 

Per il Th della corda: 

2·r·SIN(γ) = √3·r----> SIN(γ) = √3/2

che fornisce soluzioni:

γ = 2·pi/3 ∨ γ = pi/3

Dovendo essere l'angolo ottuso si deve prendere l'angolo in grassetto: γ = 2·pi/3

Quindi :

β = pi - x - γ

β = pi - x - 2/3·pi---> β = pi/3 - x

Ancora per il Th della corda:

b = 2·r·SIN(β)

b = 2·r·SIN(pi/3 - x)

poi si ha: a = 2·r·SIN(x) 

Quindi a somma richiesta vale:

4·r·SIN(pi/3 - x) + 6·r·SIN(x)

essendo:

SIN(pi/3 - x) = SIN(pi/3)·COS(x) - SIN(x)·COS(pi/3)=

=√3·COS(x)/2 - SIN(x)/2

si deve avere:

4·r·(√3·COS(x)/2 - SIN(x)/2) + 6·r·SIN(x)=

=2·√3·r·COS(x) + 4·r·SIN(x) = f(x)

A questo punto hai due alternative: o annulli la derivata prima oppure puoi procedere con il metodo dell'angolo aggiunto. Procediamo con la seconda per confrontare la soluzione quanto indica quella del testo.

2·√3·r·COS(x) + 4·r·SIN(x) = Α·SIN(x + φ)

Α·SIN(x + φ) = Α·(SIN(x)·COS(φ) + SIN(φ)·COS(x))

{Α·SIN(φ) = 2·√3·r

{Α·COS(φ) = 4·r

TAN(φ) = 2·√3·r/(4·r)----> TAN(φ) = √3/2

SIN(φ) = Υ

COS(φ) = Χ = √(1 - Υ^2)

Υ/√(1 - Υ^2) = √3/2

risolvo:

Υ = √21/7---> SIN(φ) = √(21/7^2)---> SIN(φ) = √(3/7)

φ = ASIN(√(3/7))

Α·SIN(ASIN(√(3/7))) = 2·√3·r---> √21·Α/7 = 2·√3·r

Α = 2·√7·r

Quindi:

f(x) = 2·√7·r·SIN(x + φ)  con φ = ASIN(√(3/7))

per il max:

SIN(x + φ) = 1

x + φ = pi/2---> x = pi/2 - φ