URGENTE

$ f(x) = \frac{e^{ax}-a}{e^{bx}+b} $ 

a.

i)  $ \displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x) = 1 $     

per confronto di infiniti
$ \displaystyle\lim_{x \to \infty}  \frac{e^{ax}}{e^{bx}} = 1$
$ \displaystyle\lim_{x \to \infty}  e^{(a-b)x} = 1 \; ⇒ \; a-b = 0 \; ⇒ \; a = b $

ii) $ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -1 $     

per confronto di infinitesimi
$ \displaystyle\lim_{x \to -\infty}  \frac{-a}{b} = - 1 \; ⇒ \; a = b $

b.  Grafico 

Sia $ \bar{f}(x) = \frac{e^x-1}{e^x+1} $ 

https://www.desmos.com/calculator/pv7legsd4p

A supporto del grafico dalla funzione possiamo dedurre facilmente che

• Dominio = ℝ
• $ \bar{f}(x)$ è continua e derivabile
• conosciamo i limiti in frontiera
• $ \bar{f}(x)$ è dispari, infatti $ \bar{f}(-x) = \frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1} = \frac{1-e^{x}}{1+e^{x}+1} = -\bar{f}(x)  $
• Essendo dispari passa per l'origine O(0, 0)
• $ \bar{f}'(x) = \frac{2e^x}{(e^x+1)^2} $    che risulta positiva, quindi la funzione è monotona crescente in ℝ

c.

Il generico punto P che giace sul grafico avrà coordinate $P(x, \frac{e^x-1}{e^x+1}) $    quindi:

1. $ \bar{PA} =  \frac{e^x-1}{e^x+1}$
2. $ \bar{PB} = x $

per cui

$ \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\bar{PA}}{\bar{PB}} = \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} \frac{1}{e^x+1} = \frac{1}{2} $ 

nota. Abbiamo incontrato un limite notevole.