[Risolto] Esercizio di probabilità

@alessandra_12 

Mi sembra impostato correttamente. I risultati sicuramente sono corretti ma ho dei dubbi sul modo in cui li hai trovati. L'idea di fondo é che funzioni deterministiche di va indipendenti sono indipendenti. 

Probabilmente non importa che siano gaussiane o meno 

E [ (X+YZ)/rad(1+Z^2) ] = E[X/rad(1+Z^2) ] + E[YZ/rad(1+Z^2) ] =

(essendo due variabili indipendenti incorrelate la media del prodotto é il prodotto delle medie)

E[X] * E[1/(1+Z^2)] + E[Y]*E[Z/(1+Z^2)] = 0 + 0 = 0

var [(X+YZ)/rad(1+Z^2) ] = E [ (X+YZ)^2/(1+Z^2) ] 

perché il quadrato della media é 0. 

Per la linearità della media questo si scinde in 

E[X^2/(1+Z^2)] + 2 E[XYZ/rad(1+Z^2)] + E[Y^2 Z^2/(1+Z^2) ] 

e poiché l'indipendenza implica l'incorrelazione 

le medie di prodotti sono tutti prodotti di medie 

E[X^2]*E[1/(1+Z^2)] + 2 E[X] E[Y] E[Z/(1+Z^2)] + E[Y^2] * E(Z^2/(1+Z^2)]

le medie dei quadrati delle variabili originarie sono le varianze perché le medie sono nulle

e quindi sono uguali a 1 : 

1*E[1/(1+Z^2)] + 2*0 + 1*E[Z^2/(1+Z^2)] =

= E[ (1+Z^2)/(1+Z^2) ] (ancora per la linearità della media) 

per cui risulta infine 

var [(X+YZ)/rad(1+Z^2) ] = E[1] = 1.

Nota : la doppia E equivale a mediare successivamente su due variabili diverse ma 

in questo caso non serve.