Il triangolo $A B C$ della figura ha l'ortocentro in $H\left(-\frac{7}{2} ;-\frac{5}{2}\right)$.
a. Trova le coordinate di $A, B$ e $C$.
b. Determina sul segmento $B C$ il punto $P$ tale che
$$
\overline{P A}^2=\frac{6}{5} \overline{P B}^2+4 \overline{B O}^2 \text {. }
$$
c. Da $P$ traccia la parallela ad $A B$ che interseca in $Q$ il lato $A C$. Calcola il rapporto tra le aree dei triangoli $A B C$ e $P Q C$.
[a) $A(-5 ;-2), B(0 ; 1), C(-2 ;-5)$; b) $P(-1 ;-2)$; c) 4]
2
punti
Livello 0
Le coordinate dell'ortocentro H del triangolo di vertici
* A(a, p), B(b, q), C(c, r)
(su ascisse diverse e ordinate diverse, come nell'esercizio) si ricavano da quelle dei vertici con due formule spaventose a vedersi, ma di significati banali.
Entrambe hanno per denominatore "D" il prodotto scalare fra ascisse e differenze di ordinate: l'ascissa di un vertice per la differenza fra le ordinate degli altri due
* D = {a, b, c}.{q - r, r - p, p - q} =
= a*(q - r) + b*(r - p) + c*(p - q)
i significati dei numeratori però sono un po' più involuti e, ai fini dell'esercizio, non vale la pena di verbalizzarli
* xH = ((b*(q - p) + c*(p - r))*a - (q - r)*(b*c + (p - q)*(p - r)))/D
* yH = ((b - c)*a^2 + (c^2 - b^2 + p*(q - r))*a + (q*(r - p) - c^2)*b + (r*(p - q) + b^2)*c)/D
==============================
ESERCIZIO
------------------------------
Quesito "a"
---------------
La retta data
* 3*x - 5*y + 5 = 0 ≡ y = (3/5)*x + 1
localizza due vertici per intersezione con x = - 5 e con x = 0, e il terzo resta incognito
* A(- 5, - 2), B(0, 1), C(c, r)
pertanto si ha
* xH = - (r + 2)*(5*c + 3*r - 3)/(3*c - 5*r + 5)
* yH = (5*c^2 + c*(3*r + 25) + 10*(r - 1))/(3*c - 5*r + 5)
che, dovendo essere H(- 7/2, - 5/2), definiscono il sistema
* (- (r + 2)*(5*c + 3*r - 3)/(3*c - 5*r + 5) = - 7/2) & ((5*c^2 + c*(3*r + 25) + 10*(r - 1))/(3*c - 5*r + 5) = - 5/2) ≡
≡ (c = - 2) & (r = - 5)
---------------
RISPOSTA: i tre vertici sono
* A(- 5, - 2), B(0, 1), C(- 2, - 5)
------------------------------
Poi vedi tu.
57798
punti
Genius I
