[Risolto] Esercizio di geometria

In realtà la diagonalizzazione non ha legame con la domanda successiva.

$F{-1}(w)$ altro non è che la controimmagine di $w$, cioé ti viene chiesto quale vettore si trasforma in $w$ applicandogli F.

In altre parole, dato il vettore v=(x,y,z,t) che dalla traccia sappiamo che si trasforma, applicando F, in (1/2x-1/2y-z, y+z, z, 1/2x+1/2y), dobbiamo fare in modo che questo risultato sia proprio w.

E lo facciamo tramite un sistema:

{$0 = 1/2 x -1/2y -z$

{$1=y+z$

{$0=z$

{$1=1/2x+1/2y$

Risolviamo rapidamente, sapendo che z=0:

{$0=1/2x-1/2y$

{$1=y$

{$z=0$

{$1=1/2x+1/2y$

Sostituendo y=1:

{$1/2x-1/2=0$

{$y=1$

{$z=0$

{$1/2x+1/2=1$

Dalla prima ricaviamo che $x=1$, che è coerente anche con l'ultima equazione.

Quindi abbiamo che il vettore v di partenza avrà componenti

$v=(1, 1, 0, t)$

Dove $t$ rimane un parametro. Quindi la controimmagine di w non è un singolo vettore, ma un sottospazio di dimensione 1 (dato che rimane un parametro libero), formato da tutti i vettori del tipo (1,1,0,t) con $t\in R$.

Noemi