Esercizio derivabilita funzione

1)qui il dominio è tutto R o in 0(zero) la funzione non è definita?

NO: la funzione è definita è vale 0 (è definita a tratti)

2)segue che quindi non ho capito se in zero debba studiare la continuità o meno. Inoltre si ha:

LIM(x·LN(x^2)) =0

x---> 0-

e l'altro:

LIM(x·LN(x^2)) =0

x---> 0+

La forma è indeterminata, risolvibile con De L'Hopital.

La derivata è:

y'= LN(x^2) + 2

essendo x^2 non è definita per x=0. Infatti abbiamo un flesso verticale (la derivata è definita in R\{0})

La funzione derivata ha grafico:

1. Si tratta di una funzione definita a tratti

$ y(x) = \begin{cases} x\,logx^2 \qquad x \ne 0 \\ 0 \qquad \qquad \;x = 0 \end{cases} $

quindi la funzione y(x) è definita in tutto ℝ.

• Dominio y(x) = ℝ

nota che la sua estratta $ \bar{y(x)} = x\,logx^2 $ non è definita nello zero

• Dominio $ \bar{y(x)}$ = ℝ\{0} 

ma stiamo parlando di due funzioni diverse.

2. Studiamo la continuità di y(x).

i) Il primo tratto della funzione è continua laddove definita (ℝ\{0}) poiché prodotto di funzioni continue (esiste un teorema a riguardo)

ii) rimane da verificare che lo sia anche nel punto x = 0.

Notiamo che  $ \bar{y(x)} $ è una funzione dispari per cui valgono 

$ \displaystyle\lim_{x \to 0^-} \bar{y(x)} = \displaystyle\lim_{x \to 0^+} \bar{y(x)} = 0$

essendo y(0) = 0, 

y(x) sarà continua anche nello zero per cui lo sarà in tutto ℝ.

3. ultima domanda. C'è un errore nel calcolo della derivata prima

$ y'(x) = log(x^2) + 2 $

La derivata prima risulta definita in ℝ\{0} 

In particolare 

$ \displaystyle\lim_{x \to 0} y'(x) = - \infty$

4. Flessi.

Studiando il segno dei due punti stazionari (derivata prima uguale a zero) si verifica che si tratta di un minimo e di un massimo locale. Conclusione nessun flesso orizzontale.

Altri punti di flesso. Studiamo il segno della derivata seconda.

$ y' '(x) = \frac {2}{x}$

La derivata seconda:
i) Non è definita nello 0. Ovvio, è la derivata di una funzione (derivata prima) che non è definita nello zero
ii) Non vi sono punti dove la derivata seconda si annulla. Questo non significa che non vi siano flessi. 
Studiamone il segno

1. y"(x) < 0    per x < 0    quindi y(x) è concava in (-∞, 0)
2. y"(x) > 0    per x > 0    quindi y(x) è convessa in (0,∞)

Osserviamo che il punto x = 0, dove la funzione y(x) E' DEFINITA, divide due intervalli dove la funzione cambia la concavità. Conclusione x = 0 è un punto di flesso.

Questo esercizio dimostra che non è sufficiente cercare i punti di flesso tra i soli punti che annullano la derivata seconda.