[Risolto] Esercizio con parametri-ellisse

(2 - h)·x^2 + y^2 = 2 - h

divido per (2-h):

x^2 + y^2/(2 - h) = 1

Deve essere 1, per rappresentare un'ellisse:

2-h>0-----> h < 2

x^2/α + y^2/β = 1

Nel nostro caso:

γ = c^2= 2^2 =4

α = 1

β = 2 - h

β = γ + α = 4 + 1 =5

2 - h = 5----> h = -3

Un'equazione di secondo grado in (x, y) rappresenta un'ellisse Γ se e solo se risulti riducibile, con opportune traslazioni e/o rotazioni, alla forma normale standard
* Γ(a, b) ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
con i semiassi (a, b) positivi; una tale ellisse Γ ha i fuochi in F(0, ± 2) se e solo se ha la semidistanza focale
* c = √(b^2 - a^2) = 2 ≡ a = √(b^2 - 4)
da cui il fascio di ellissi confocali
* Γ1(b) ≡ (x/√(b^2 - 4))^2 + (y/b)^2 = 1 ≡
≡ x^2/(b^2 - 4) + y^2/b^2 = 1
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Anche l'equazione data
* Γ2(h) ≡ (2 - h)*x^2 + y^2 = (2 - h) ≡
≡ x^2 + y^2/(2 - h) = 1
è quella di un fascio che coincide con Γ1(b) se e solo se
* (b^2 - 4 = 1) & (b^2 = 2 - h) & (b > 0) ≡
≡ (b = √5) & (h = - 3)
da cui
* Γ1(√5) ≡ x^2/(5 - 4) + y^2/5 = 1 ≡ 5*x^2 + y^2 - 5 = 0
* Γ2(- 3) ≡ (2 - (- 3))*x^2 + y^2 = (2 - (- 3)) ≡ 5*x^2 + y^2 - 5 = 0