esercizio circonferenza (420)

Ci mettiamo con santa pazienza e lo svolgiamo a rate.

Il centro é in (2,3)

ed il raggio r^2 = 1/4 * [4 + 16] = 5

(x - 2)^2 + (y - 3)^2 - 5 = 0

x^2 + y^2 - 4x - 6y + 8 = 0

Verifichiamo graficamente

https://www.desmos.com/calculator/mroeocxkd9

Passiamo alla parabola

y - yV = a (x - xV)^2

y - 5 = a(x - 3)^2

passaggio per A

1 - 5 = a(1 - 3)^2

-4 = 4 a

a = -1

y = 5 - (x^2 - 6x + 9)

y = -x^2 + 6x - 4

https://www.desmos.com/calculator/0mzwszakmb

Le coordinate di C sono (4,4)

Infatti dalla risolvente

x^2 + (-x^2 + 6x - 4)^2 - 4x - 6 (-x^2 + 6x - 4) + 8 = 0

si trae la forma normale

x^4 - 12 x^3 + 51 x^2 - 88 x + 48 = 0

e tenuto conto che A e B sono intersezioni per cui 1 e 3 sono radici

usando la regola di Ruffini si scompone in

(x - 1)(x - 3)(x - 4)^2 = 0

da cui xC = 4.

https://www.desmos.com/calculator/ftydssvut4

Per verificare che la tangente in C é la stessa basterà mostrare

che i coefficienti angolari sono uguali

circonferenza

K = (2,3) e C = (4,4)

raggio  mKC = (4-3)/(4-2) = 1/2

la tangente é perpendicolare

m' = - 1 : 1/2 = -2

parabola : tangente in C

mt(C) = 2 a xC + b = 2*(-1)*4 + 6 = -2

e sono effettivamente uguali

l'equazione della tangente comune y - 4 = -2 (x - 4)

y = 4 - 2x + 8

y = -2x + 12

In forma implicita   2x + y - 12 = 0

P = (x, -x^2 + 6x - 4)

sqrt(5) PQ + PR = 2

sqrt(5) * |2x - x^2 + 6x - 4 - 12|/sqrt(4+1) + (-x^2 + 6x - 4) = 2

|-x^2 +8x - 16| - x^2 + 6x - 4 - 2 = 0

x^2 - 8x + 16 - x^2 + 6x - 6 = 0

-2x + 10 = 0

xP = 5

yP = -25 + 30 - 4 = 1 > 0

per cui P = (5,1)

Si potrebbe svolgere una indagine ulteriore per scoprire se ce ne n'é un altro.

Non ho le risposte, quindi lo lascio a te.