Esercizio algebrico

Le "3 domande" sono tre istanze del medesimo problema in cui si chiede di determinare gli eventuali valori dell'unico parametro che soddisfacciano ai vincoli imposti sulle radici di un'equazione razionale intera di grado due che, in generale, s'intende fornita nella forma normale canonica con tutt'e tre i coefficienti parametrici.
Quindi "indicare il procedimento" vale in genere per ogni istanza, non occorre ripeterlo per ciascuna.
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PROCEDIMENTO
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A) Occorre fare una distinzione di casi sul coefficiente direttore, se è parametrico.
* p(k) = a(k)*x^2 + b(k)*x + c(k) = 0 ≡
≡ (a(k) = 0) & (x = - c(k)/b(k)) oppure (a(k) != 0) & (x^2 - s(k)*x + p(k) = 0)
dove
* s(k) = - b(k)/a(k) è la somma delle radici
* p(k) = c(k)/a(k) è il prodotto delle radici
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B) Il trinomio quadratico monico
* T(x) = x^2 - s*x + p = (x - X1)*(x - X2)
con discriminante
* Δ = s^2 − 4*p
e zeri
* X = (s ± √Δ)/2
cioè
* X1 = (s - √Δ)/2
* X2 = (s + √Δ)/2
ha gli zeri X1 e X2 tali che X1 + X2 = s (somma) e X1 * X2 = p (prodotto).
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Se Δ >= 0 gli zeri sono reali e vale X1 <= X2.
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Gli zeri X1 e X2 sono distinti se il discriminante Δ è non nullo:
* complessi coniugati se Δ < 0
* reali se Δ > 0.
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Nel caso in cui i coefficienti (s, p) siano funzioni (s(k), p(k)) di un parametro k, ogni vincolo V(X1, X2) = 0 sugli zeri si traduce, tramite l'espressione X = (s ± √Δ)/2, in due equazioni in k.
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C) La formazione dei vincoli sulle radici è la traduzione in formule di quanto espresso in narrativa.
* "radici reali e positive" ≡ (Δ >= 0) & (X1 > 0)
* "radici reali e discordi" ≡ (Δ >= 0) & (p < 0)
* "radici reali e concordi" ≡ (Δ >= 0) & (p > 0)
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SE RIUSCITE A RISOLVERLE FINO ALLA FINE
Ma certo che ci riesco!
Non ti sembra un bel po' cafone chiederlo? Voglio sperare che ti sia sfuggito a tua insaputa, come sentire un vescovo che urla «Vaffanculo brutto stronzo!» in una discussione animata con un cardinale (nel Concilio Vaticano II, per chi se lo ricorda, ce ne furono un bel po').
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a) k*x^2 - (k + 3)*x + 3 = 0 ≡
≡ (k = 0) & (x = 1) oppure (k != 0) & (x^2 - (3/k + 1)*x + 3/k = 0)
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* x^2 - (3/k + 1)*x + 3/k = 0 ≡
≡ (X1 = 1) oppure (X2 = 3/k)
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* "radici reali e positive" ≡ (Δ >= 0) & (X1 > 0) ≡
≡ ((k - 3)^2/k^2 >= 0) & (1 > 0) ≡
≡ k != 3
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b) (k + 1)*x^2 - 4*x - 1 = 0 ≡
≡ (k = - 1) & (x = 1/4) oppure (k = - 1) & (x^2 - (4/(k + 1))*x - 1/(k + 1) = 0)
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* x^2 - (4/(k + 1))*x - 1/(k + 1) = 0 ≡
≡ (X1 = (2 - √(k + 5))/(k + 1)) oppure (X2 = (2 + √(k + 5))/(k + 1))
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* "radici reali e discordi" ≡ (Δ >= 0) & (p < 0) ≡
≡ (4*(k + 5)/(k + 1)^2 >= 0) & (4/(k + 1) < 0) ≡
≡ (k >= - 5) & (k != - 1) & (k < - 1) ≡
≡ - 5 <= k < - 1
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c) 2*x^2 + 6*x + (2*k - 3) = 0 ≡
≡ x^2 + 3*x + (k - 3/2) = 0 ≡
≡ (X1 = (- 3 - √(15 - 4*k))/2) oppure (X2 = (- 3 + √(15 - 4*k))/2)
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* "radici reali e concordi" ≡ (Δ >= 0) & (p > 0) ≡
≡ (k <= 15/4) & (k > 3/2) ≡
≡ 3/2 < k <= 15/4