[Risolto] Esercizio Algebra Lineare

Consideriamo il sottoinsieme A, costituito da tutti i polinomi al massimo di terzo grado tali che p(0)=0 , per verificare se è un sottospazio, verifichiamo se sono interne all'insieme A le operazioni di somma e prodotto per uno scalare. Considerando un secondo polinomio q(0)=0, è ovvio che p(0)+q(0)=0 dunque (p+q)(0)=0, ne segue che p+q ∈ A. Se p appartiene ad A e a ∈ R, allora (ap)(0) = ap(0) = a0 = 0, e quindi anche ap ∈ A. Dunque A è un sottospazio vettoriale.

I polinomi di A sono del tipo:
x(a0 + a1x + a2x^2)
Quindi A ha dimensione 3, ed una
sua base è (x , x^2, x^3)

Analogamente è possibile dimostrare che anche B, costituito dai polinomi aventi 1 come radice è uno spazio vettoriale.

I polinomi di B, scomposti utilizzando ruffini sono della forma:

(x-1)(a0 + a1x + a2x^2)

la dimensione è ancora 3, e una base è quella costituita da (x-1, x(x-1), x^2(x-1))

In generale l'unione di due sottospazi non è un sottospazio. Esaminando il tuo caso, bisogna trovare quella classe di polinomi di terzo grado tali che ammettano come radice sia 1 che 0. Un polinomio di questo tipo si può scrivere nella forma x(x-1)(a0x+a1) , da qui puoi dimostrare che l'operazione di somma e prodotto per uno scalare sono ancora interni a AUB. Dunque AUB è un sottospazio, la dimensione è 2

La difficoltà dell'esercizio sta nel lavorare nello spazio dei polinomi ragionando più di logica che analiticamente, una via per semplificare l'esercizio e trovare le dimensioni dei sottospazi sarebbe quella di scrivere le basi dei sottospazi A e B in funzione della base canonica di  R3(x), (1,x,x^2,x^3) cosi da poter scrivere A= span((0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)) mentre B=span((-1,1,0,0),(0,-1,1,0),(0,0,-1,1)) . Con gli spazi vettoriali espressi in questa formula dovrebbe essere più semplice ricavare dimensione dell'unione, dell'intersezione e della somma.