Esercizio algebra

I) la puoi fare in vari modi, forse il più rapido è con i diagrammi di Eulero-Venn, ma io te lo faccio in un altro modo.

Osservazione 1:
sia "a" un qualunque elemento di S.
Dato che S è sottoinsieme di T, "a" appartiene anche a T.

Prendiamo l'insieme S U V.
Se "b" è un qualunque elemento di S U V, o "b" appartiene ad S, oppure "b" appartiene a V.
Se "b" appartiene ad S, allora per l'Osservazione 1, appartiene anche a T e quindi anche a T U V.
Se "b" appartiene a V, allora di sicuro appartiene anche a T U V.

In ogni caso, se "b" è un elemento di S U V, è anche elemento di di T U V.
Dato che "b" è un elemento generico, questa cosa vale per ogni suo elemento. Di conseguenza ogni elemento di S U V è anche elemento di T U V, da cui ciò che si chiedeva di dimostrare.

II)La differenza tra la I e la II è che nel primo caso S potrebbe anche essere uguale a T, nel secondo no... E anche S U V nel primo caso potrebbe anche essere uguale a T U V, nel secondo caso no. 

Controesempio della II:
Scelgo S, T e V in questo modo
S={1,2,3}
T={1,2,3,4,5,6}
V=T={1,2,3,4,5,6}

Con queste scelte, abbiamo:
S U V = V
e anche T U V = V
Quindi S è sottoinsieme proprio di T, ma S U V non è sottoinsieme proprio di T U V.

Sì, certo. però bisogna che scriva a mano (o da un altro pc, che adesso non ho qui con me) perché scrivere i simboli matematici da tastiera del pc che sto usando adesso è un po' complicato. Se nessun altro ti risponde prima, cerco di aiutarti domani.

Però, prima di darti la soluzione formale: sei sicuro di aver compreso bene la risposta?

Mi fa piacere darti una mano, ma prima di tutto mi farebbe piacere sapere che dal punto di vista logico è chiaro come procedere per rispondere ai due quesiti, al di là del formalismo...

Sia S⊆T: 

a∈S ⇒ a∈T  

b∈S∪V ⇒ a∈S ∨ a∈V

  b∈S ⇒ b∈T ⇒ b∈T∪V
  b∈V ⇒ b∈T∪V 

Quindi: b∈S∪V ⇒ b∈T∪V
cioè S∪V ⊆ T∪V

CVD