avrei bisogno di aiuto in questo esercizio di algebra
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287
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Livello 1
Problema:
Dimostrare che l'applicazione $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}_0$ definita come
$x \mapsto \{2x, x≥0; -2x-1, x<0\}$
è biiettiva.
Soluzione:
L'insieme dei relativi può essere diviso in due insiemi, uno con i numeri negativi $E_1$ e uno con i numeri positivi includendo lo 0, $E_2$.
Gli elementi del secondo insieme vengono mandati tutti nel loro doppio dall'applicazione, quindi se ne deduce che l'insieme $E_2$ viene mandato nei numeri pari positivi. (Iniettività)
Gli elementi del primo insieme $E_1$, vengono invece mandati nel precedente del loro doppio in modulo (dispari), quindi vi è anche qui una iniezione.
Si nota che adesso tutti i numeri dell'insieme di arrivo vengono coperti, quindi vi è biunivocità e medesima cardinalità. Infatti è noto che $| \mathbb{N} | = | \mathbb{Z}|$ 😉 .
Lascio come esercizio la formalizzazione mediante la definizione analitica di iniettività.
6218
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Livello 6