Esercizio

Problema:

Consideriamo i sottospazi $V=Span \{ (1,-1,2,0)^T, (1,1,1,0)^T, (1,3,0,0)^T, (-1,-1,0,0)^T\}$

$W=\{ (x_1, x_2, x_3, x_4) : x_1-x_2=0, 2x_2-x_1=0\}$

i. Calcolare $V+W$, $\dim ( V + W)$;

ii. Calcolare $\dim V, \dim W, \dim V \oplus W$.

Soluzione:

Rivedi i conti.

Prima di iniziare converrebbe vedere se i generarori di $V$ sono linearmente indipendenti, ossia se formano una base. Ciò può essere fatto costruendo la matrice dei generatori e utilizzando l'algoritmo di Gauss. I vettori linearmente indipendenti sono quelli posizionati in corrispondenza dei gradini, ossia: 

$( (1,-1,2,0)^T, (1,1,1,0)^T, (-1, -1, 0, 0)^T)$

Poiché i vettori di questo insieme sono linearmente indipendenti e costituiscono una base di $V$, si ha che $\dim V=3$ per definizione di dimensione di uno spazio vettoriale. 

Per individuare $V+W$, conviene scrivere $W$ in forma vettoriale:

$W= \{x_1=0, x_2=0, x_3=x_3, x_4=x_4\}$, ossia $W=(0,0,0,0)^T+Span \{ (0,0,1,0)^T, (0,0,0,1)^T\}$. Poiché i generatori di $W$ sono linearmente indipendenti, questi costituiscono una base di $W$ e vale che $\dim W =2$.

$V+W$ è dato dall'unione dei generatori dei due spazi: $V+W =\{ ((1,-1,2,0)^T, (1,1,1,0)^T, (-1, -1, 0, 0)^T, (0,0,1,0)^T, (0,0,0,1)^T \}$, per studiare la sua dimensione è necessario utilizzare nuovamente l'algoritmo di Gauss per individuare un insieme di generatori linearmente indipendenti. Poiché la matrice che si ottiene dai vettori colonna presenta, dopo l'applicazione dell'algoritmo, 4 pivot, $\dim V +W =4$.

Per Grassmann vale che $\dim(V+W)+\dim ( V \cap W)=\dim V + \dim W$, ossia $\dim (V \cap W)=5 - \dim (V + W)=5-4=1$. Infatti è facile vedere che esistono combinazioni lineari di $\{e_3 \}$ presenti sia in $V$ che in $W$.

Poiché lo spazio $V \oplus W$ è definito come $ V+W \wedge V \cap W = \{0 \}$, non è possibile calcolarlo dato che $\dim V \cap W =1 \neq 0$.