Esercizio

Problema:

Sia $v_1,...,v_n$ una successione finita di vettori linearmente indipendenti. Allora $v_1,..., v_n$ costituisce una base se e solo se è massimale. 

Soluzione:

Dato che c'è un "se e solo se" è necessario dividere la dimostrazione in due parti. 

$base \implies massimale$. Se $\{v_1,...,v_n\}$ è una base di un certo spazio vettoriale $V$, si ha che un qualunque vettore $w \in V$ è esprimibile come combinazione lineare dei vettori della base, ossia $w=\sum_i a_iv_i$. Si ottiene quindi che l'insieme $\{v_1,...,v_n,w\}$ è linearmente dipendente, quindi $\{v_1,...,v_n\}$ è massimale.

$massimale \implies base$. Si suppone che $\{v_1,...,v_n\}$ sia un insieme di vettori linearmente indipendenti massimale, bisogna mostrare che è in grado di generare tutto $V$, ossia che questo rappresenti una base. Si utilizza il principio del tertium non datur.

Si suppone per assurdo che $\{v_1,..., v_n\}$ non sia una base, quindi esiste un $w \in V$ tale che $\{v_1,..., v_n, w\}$ è linearmente indipendente. Ciò però contraddice il fatto che $\{v_1,..., v_n\}$ sia massimale, quindi necessariamente $\{v_1,..., v_n\}$ rappresenta una base.