Esercizio

Il sistema è determinato se e solo se il determinante dei coefficienti delle incognite non è nullo.

Se lo risolviamo con il metodo di Cramer otteniamo come soluzione:

da cui k ≠ 1/3 Con questa condizione otteniamo un'unica soluzione

I determinanti associati alle tre incognite valgono nell'ordine:

da cui facendo i rapporti relativi si ottiene come soluzione:

[x = k·(2·k - 1)/(3·k - 1) ∧ y = k·(k - 1)/(3·k - 1) ∧ z = k^2/(3·k - 1)]

https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Rouch%C3%A9-Capelli

determinante (della matrice) dei coefficienti (che esiste ... visto che il sistema è di tre equazioni in tre incognite)

2 -1 0
1 -1 -1
1 -k +k

che dà:

1-3k

quindi la soluzione è unica se e solo se il rango della matrice dei coefficienti è uguale a  tre

   --->  determinante dei coefficienti diverso da 0 ; k diverso da 1/3.

--------------- ----------------------- ---------------- ----------------

determinante dei termini noti per la x

(k | -1 | 0
0 | -1 | -1
k | -k | +k)

che dà:

k - 2k^2

quindi secondo Cramer...

x = (k-2k²)/(1-3k)

determinante dei termini noti per la y

2 k 0
1 0 -1
1 k k

che dà:

-(k²-k) = k - k²

quindi secondo Cramer...

y = (k - k²)/(1 - 3k)

determinante dei termini noti per la z

(2 | -1 | k
1 | -1 | 0
1 | -k | k)

che dà:

-k^2

quindi secondo Cramer...

z = -k²/(1 - 3k)