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[Risolto] ESERCIZI SULL'ELLISSE

  

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316. 3x²/64 + y²/4 = 1

 

Consideriamo le rette (fascio) che passano per P(0,4). Esse saranno rappresentate dall'equazione 

y-4=m(x-0) cioè y = mx + 4

(Abbiamo scartato la retta x=0 che non può essere tangente) vedi diagramma. 

Determiniamo i punti di intersezione rette/ellisse e imponiamo la tangenza ponendo a zero il discriminante dell'equazione risolvente.

{y = mx + 4

{3x²/64 + y²/4 = 1

per sostituzione

3x²/64 + (mx+4)²/4 = 1

(3/64+m²/4)x² + 2mx+3 = 0 

Imponiamo la tangenza. Δ = 0

4m² - 4*3*(3/64+m²/4) = 0

16m² = 9

m = ± 3/4

Le due tangenti hanno equazione:

i) y = -3x/4 +4

ii) y = 3x/4 +4

I punti di contatto, ovvero i punti di intersezione retta tangente/ellisse sono i risultati dei due sistemi 

  • m = -3/4

{y = -3x/4 + 4

{3x²/64 + y²/4 = 1
 la cui unica soluzione è x=4 & y=1 cioè S(4,1) 

  • m = 3/4

{y = 3x/4 + 4

{3x²/64 + y²/4 = 1
 la cui unica soluzione è x=-4 & y=1 cioè T(-4,1) 

Passiamo alla seconda parte del problema.

Si tratta di scrivere l'equazione della parabola passante per tre punti dati. 

P(0,4); T(-4,1); S(4,1)

Dal grafico deduciamo che trattasi di una parabola con asse parallelo all'asse delle y (anzi coincidente  e questo significa che l'equazione avrà il termine in x nullo). L'equazione canonica sarà quindi del tipo

y=ax²+bx+c

Impostiamo il sistema di 3 equazioni (una per ogni punto) nelle 3 incognite a,b,c

{a*0+b*0+c = 4 ← Passa per P(0,4)

{16a-4b+c = 1 ← Passa per T(-4,1)

{16a+4b+c = 1 ← Passa per S(4,1) 

dalla prima ricaviamo c = 4 per cui

{16a-4b+4 = 1 

{16a+4b+4 = 1 

Sommando membro a membro

32a = - 6

a = -3/16

Sottraendo membro a membro 

2b = 0 

b = 0 come avevamo previsto

l'equazione della parabola è così y = -3x²/16 + 4

Grafico: https://www.desmos.com/calculator/vjnkvkntxx

 

317.  9x²+4y²+36x-16y+16 = 0 

Con il completamento dei quadrati procediamo a scrivere l'equazione riferita al centro e agli assi.

9x²+36x + 4(y²-4y+4) = 0

9(x²+4x+4) + 4(y-2)² = 36

9(x+2)² + 4(y-2)² = 369(x+2)² + 4(y-2)² = 36

(x+2)²/4 + (y-2)²/9 = 1 

quindi Centro C(-2,2) mentre a² = 4 & b² = 9 ⇒ c² =√(b²-a²)=√5 

Ecco l'equazione dell'ellisse.

  • eccentricità e = c/b = √5/3 
  • Fuochi F = (xC, yC ±√(b²-a²)) = (-2,2± √5)

Punti dell'ellisse di ascissa x=-2 

9x²+4y²+36x-16y+16 = 0 per x=-2 

due punti sono A(-2,5) & B(-2,-1)

Il punto B corrisponde al punto di minor ordinata.

Osserviamo che il punto B è un vertice quindi la tangente sarà y=-1.

Se proprio vogliamo essere sicuri, verifichiamolo.

Il punto B(-2,-1) appartiene all'ellisse quindi possiamo usare le formule di sdoppiamento per calcolare l'equazione della tangente

9x²+4y²+36x-16y+16 = 0 

Le ricordo, occorre sostituire alla

x² → xB*x = -2x

x → (x+xB)/2 = (x-2)/2 = x/2 - 1

analogamente per la variabile y. Si ottiene così

9(-2x)+4(-1y)+36(x-2)/2 -16(y-1)/2 + 16 = 0

-12y -12 = 0

y = -1

 

Grafico. https://www.desmos.com/calculator/2p0m7obykk

 

 

 




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Amore di nonno, sei un po' sciocchina o che?
Ma non le leggi le risposte che ricevi?
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/18655/



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