316. 3x²/64 + y²/4 = 1
Consideriamo le rette (fascio) che passano per P(0,4). Esse saranno rappresentate dall'equazione
y-4=m(x-0) cioè y = mx + 4
(Abbiamo scartato la retta x=0 che non può essere tangente) vedi diagramma.
Determiniamo i punti di intersezione rette/ellisse e imponiamo la tangenza ponendo a zero il discriminante dell'equazione risolvente.
{y = mx + 4
{3x²/64 + y²/4 = 1
per sostituzione
3x²/64 + (mx+4)²/4 = 1
(3/64+m²/4)x² + 2mx+3 = 0
Imponiamo la tangenza. Δ = 0
4m² - 4*3*(3/64+m²/4) = 0
16m² = 9
m = ± 3/4
Le due tangenti hanno equazione:
i) y = -3x/4 +4
ii) y = 3x/4 +4
I punti di contatto, ovvero i punti di intersezione retta tangente/ellisse sono i risultati dei due sistemi
{y = -3x/4 + 4
{3x²/64 + y²/4 = 1
la cui unica soluzione è x=4 & y=1 cioè S(4,1)
{y = 3x/4 + 4
{3x²/64 + y²/4 = 1
la cui unica soluzione è x=-4 & y=1 cioè T(-4,1)
Passiamo alla seconda parte del problema.
Si tratta di scrivere l'equazione della parabola passante per tre punti dati.
P(0,4); T(-4,1); S(4,1)
Dal grafico deduciamo che trattasi di una parabola con asse parallelo all'asse delle y (anzi coincidente e questo significa che l'equazione avrà il termine in x nullo). L'equazione canonica sarà quindi del tipo
y=ax²+bx+c
Impostiamo il sistema di 3 equazioni (una per ogni punto) nelle 3 incognite a,b,c
{a*0+b*0+c = 4 ← Passa per P(0,4)
{16a-4b+c = 1 ← Passa per T(-4,1)
{16a+4b+c = 1 ← Passa per S(4,1)
dalla prima ricaviamo c = 4 per cui
{16a-4b+4 = 1
{16a+4b+4 = 1
Sommando membro a membro
32a = - 6
a = -3/16
Sottraendo membro a membro
2b = 0
b = 0 come avevamo previsto
l'equazione della parabola è così y = -3x²/16 + 4
Grafico: https://www.desmos.com/calculator/vjnkvkntxx
317. 9x²+4y²+36x-16y+16 = 0
Con il completamento dei quadrati procediamo a scrivere l'equazione riferita al centro e agli assi.
9x²+36x + 4(y²-4y+4) = 0
9(x²+4x+4) + 4(y-2)² = 36
9(x+2)² + 4(y-2)² = 369(x+2)² + 4(y-2)² = 36
(x+2)²/4 + (y-2)²/9 = 1
quindi Centro C(-2,2) mentre a² = 4 & b² = 9 ⇒ c² =√(b²-a²)=√5
Ecco l'equazione dell'ellisse.
Punti dell'ellisse di ascissa x=-2
9x²+4y²+36x-16y+16 = 0 per x=-2
due punti sono A(-2,5) & B(-2,-1)
Il punto B corrisponde al punto di minor ordinata.
Osserviamo che il punto B è un vertice quindi la tangente sarà y=-1.
Se proprio vogliamo essere sicuri, verifichiamolo.
Il punto B(-2,-1) appartiene all'ellisse quindi possiamo usare le formule di sdoppiamento per calcolare l'equazione della tangente
9x²+4y²+36x-16y+16 = 0
Le ricordo, occorre sostituire alla
x² → xB*x = -2x
x → (x+xB)/2 = (x-2)/2 = x/2 - 1
analogamente per la variabile y. Si ottiene così
9(-2x)+4(-1y)+36(x-2)/2 -16(y-1)/2 + 16 = 0
-12y -12 = 0
y = -1
Grafico. https://www.desmos.com/calculator/2p0m7obykk
Amore di nonno, sei un po' sciocchina o che?
Ma non le leggi le risposte che ricevi?
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/18655/