Gli esercizi 2, 4, 5 si riferiscono a un'ellisse Γ riducibile alla forma normale standard
* Γ ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
con centro nell'origine, assi di simmetria su quelli coordinati, semiassi (a, b) entrambi positivi e diversi fra loro (a = b ≡ circonferenza), vertici V(± a, 0) e V(0, ± b), fuochi ...
beh, bisogna distinguere secondo la relazione fra i semiassi.
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A) a < b
* semidistanza focale c = √(b^2 - a^2)
* fuochi F(0, ± c)
* eccentricità e = c/b
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B) a > b
* semidistanza focale c = √(a^2 - b^2)
* fuochi F(± c, 0)
* eccentricità e = c/a
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Invece l'esercizio 3, probabilmente perché scritto male e senza riflettere, presenta un problema malposto per carenza di specificazioni e con una molteplice infinità di soluzioni motivo per cui la consegna "Scrivi l'equazione dell'ellisse", al singolare, risulta grammaticalmente ERRATA e matematicamente INGANNEVOLE: ingannare gli alunni è, a mio parere, un peccato da confessare (Nel Vangelo di Luca si dice che "Sarebbe meglio per lui che una macina da mulino gli fosse messa al collo e fosse gettato nel mare").
La discussione dell'esercizio 3 meriterebbe (a norma di Regolamento) una domanda tutta per sé.
A stretto rigore, per Regolamento, tu avresti dovuto pubblicare quattro domande distinte: facendo uno strappetto io posso accettare tre esercizi che siano diversi punti di vista su un unico problema, ma non uno che è proprio fuori tema per com'è formulato.
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ESERCIZI
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2) La congiungente OP, (0, 0) con (2, 4) è s ≡ y = 2*x, con cursore S(k, 2*k).
L'ellisse è Γ ≡ (x/2)^2 + (y/4)^2 = 1.
I punti comuni sono quelli per cui k soddisfà al vincolo d'appartenenza a Γ
≡ (k/2)^2 + (2*k/4)^2 = 1 ≡ k = ± √2
quindi
* S(- √2, - 2*√2) oppure S(√2, 2*√2)
Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D2*x%2C%28x%2F2%29%5E2%2B%28y%2F4%29%5E2%3D1%5D
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4) L'ellisse è
* Γ ≡ x^2 + 4*y^2 = 4 ≡ (x/2)^2 + (y/1)^2 = 1
con vertici V(± 2, 0) e V(0, ± 1), quindi i richiesti vertici del rettangolo ABCD sono
* ABCD(± 2, ± 1)
e la circonferenza per essi ha centro nell'origine e diametri le diagonali AC e BD
* x^2 + y^2 = (|AC|/2)^2 = 5
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x%5E2-4%29*%28y%5E2-1%29%3D0%2C%28%28x%2F2%29%5E2--y%5E2-1%29*%28x%5E2--y%5E2-5%29%3D0%5D
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5) L'area S del richiesto rettangolo è ovviamente il quadruplo del prodotto dei semiassi
* S = 4*a*b
Centro nell'origine, fuochi sull'asse x, eccentricità √5/5 significano
* a > b
* c = √(a^2 - b^2)
* F(± c, 0)
* eccentricità e = c/a = 1/√5
Passa per A(0, 2) significa
* (0/a)^2 + (2/b)^2 = 1 ≡ b = 2
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Il sistema risolutivo è
* (a > b) & (b = 2) & (c = √(a^2 - b^2)) & (c/a = 1/√5) ≡
≡ (a = √5) & (b = 2) & (c = 1)
da cui
* Γ ≡ (x/√5)^2 + (y/2)^2 = 1
* S = 4*(√5)*2 = 8*√5 ~= 17.8885 ~= 18
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SOLO UN CENNO ALL'ESERCIZIO 3
La retta data
* r ≡ x + 2*y = 4 ≡ x/4 + y/2 = 1
interseca gli assi in F(4, 0) e in V(0, 2).
Se si fosse specificato che V è un vertice dell'asse minore anche quest'esercizio sarebbe rientrato nel caso già illustrato: MA NON E' STATO SPECIFICATO.
Pertanto il testo presenta un problema indeterminato con una soluzione normale standard e infinite altre che, ponendo l'asse maggiore sulla r, possono avere il centro fra F e V o al di là di F (primo infinito, che determina "a") e un qualsiasi semiassi minore (secondo infinito, 0 < b < a).
