Esercizi sul l’iperbole

@gf

Ciao e benvenuto/a. Un invito per la milionesima volta a leggere per bene il:

https://www.sosmatematica.it/regolamento/

quindi a: proporre un solo esercizio per volta, evidenziare per bene le proprie difficoltà nel relativo svolgimento, le fotografie sono in più e all'occorrenza devono essere inviate dritte, infine, non da ultimo, un po' di gentilezza nei nostri confronti non guasta mai (un per favore....)

EX.144

x^2 - 4·y^2 = 9

rette tangenti per [9/5, 0]

{x^2 - 4·y^2 = 9

{y = m·(x - 9/5)

per sostituzione: 

x^2 - 4·(m·(x - 9/5))^2 = 9

x^2 - (4·m^2·x^2 - 72·m^2·x/5 + 324·m^2/25) - 9 = 0

x^2·(1 - 4·m^2) + 72·m^2·x/5 - 9·(36·m^2 + 25)/25 = 0

Δ = 0   condizione di tangenza

(72·m^2/5)^2 + 4·(1 - 4·m^2)·(9·(36·m^2 + 25)/25) = 0

5184·m^4/25 + (- 5184·m^4/25 - 2304·m^2/25 + 36) = 0

36 - 2304·m^2/25 = 0

m = - 5/8 ∨ m = 5/8

m = - 5/8:  y = (- 5/8)·(x - 9/5)

y = 9/8 - 5·x/8   anche: 5·x + 8·y - 9 = 0

m = 5/8 : y = 5/8·(x - 9/5)

y = 5·x/8 - 9/8    anche: 5·x - 8·y - 9 = 0

x^2/α - y^2/β = 1 : iperbole con i fuochi sull'asse delle x

x^2/α - y^2/β = -1 : iperbole con i fuochi sull'asse delle y

In ogni caso deve essere:

α > 0 e β > 0

Quindi l'iperbole:

x^2/(2·k - 1) + y^2/(k^2 - 4) = 1

se ha i fuochi sull'asse delle x deve essere verificato il sistema:

{2·k - 1 > 0

{k^2 - 4 < 0

Quindi deve essere verificato:

{k > 1/2

{-2 < k < 2

Quindi un'iperbole di questo tipo è verificata dalla condizione:

[1/2 < k < 2]

se ha i fuochi sull'asse delle y deve essere verificato il sistema:

{2·k - 1 < 0

{k^2 - 4 > 0

(condizioni "opposte " alle precedenti)

{k < 1/2

{k < -2 ∨ k > 2

soluzione: [k < -2]

Quindi si ha un'iperbole se risulta:

([1/2 < k < 2] ∨ [k < -2]) = [k < -2 ∨ 1/2 < k < 2]

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x^2/(2·k - 1) + y^2/(k^2 - 4) = 1

deve passare per [0, - √5]

0^2/(2·k - 1) + (- √5)^2/(k^2 - 4) = 1

5/(k^2 - 4) = 1

k = -3 ∨ k = 3

(deve risultare: k < -2 ∨ 1/2 < k < 2)

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F [2, 0]-----> c=2

deve risultare:

γ = c^2 = α + β

α + β = 2^2

x^2/(2·k - 1) - y^2/(4 - k^2) = 1

{(2·k - 1) + (4 - k^2) = 4

{1/2 < k < 2

Quindi deve risultare:

{k^2 - 2·k + 1 = 0

{1/2 < k < 2

soluzione: [k = 1]

A cui corrisponde l'iperbole:

x^2/(2·1 - 1) - y^2/(4 - 1^2) = 1

x^2 - y^2/3 = 1