Buongiorno qualcuno puo aiutarmi con passaggi chiari e semplice a capire come si risolve questo esercizio:Data l’equazione: x²/2k-4 + y²/3-k=1 determinare per quale valore di k rappresenta un’iperbole.
Grazie e buona domenica
Buongiorno qualcuno puo aiutarmi con passaggi chiari e semplice a capire come si risolve questo esercizio:Data l’equazione: x²/2k-4 + y²/3-k=1 determinare per quale valore di k rappresenta un’iperbole.
Grazie e buona domenica
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Livello 2
Problema:
Data l'equazione $\frac{x^2}{2k-4}+\frac{y^2}{3-k}=1$, determinare per quali valore di $k$ rappresenta una iperbole.
Soluzione:
Una iperbole non verticale è tipicamente nella forma $\frac{x^2}{a²}-\frac{y^2}{b²}=1$. Bisogna dunque rendere i denominatori dell'equazione data discordi in segno. Considererò il caso in cui l'iperbole non è verticale, per esercizio trova i valori per l'iperbole verticale. (Basta invertire le disuguaglianze)
$2k-4>0 \implies k>2$
$3-k<0 \implies k>3$
Queste due condizioni sono soddisfatte contemporaneamente quando $k>3$, quindi l'equazione data rappresenta una iperbole orizzontale per $k \in (3, +\infty)$.
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Livello 6
@rebc perdonami quindi la è 3
@rebc quindi come verrebbe e quali sono i passaggi da fare in questi casi
Con segno intendo il segno dell'oggetto al denominatore. Ad esempio se si ha $\frac{a}{b}$, se si vuole $b$ positivo si pone $b>0$, non si aggiunge il $+$ davanti alla frazione. (In ciò che hai scritto (la primissima equazione) devi porre il denominatore della frazione di $x^2$ minore di zero e quello di $y^2$ maggiore di zero.)
Soluzione (iperbole verticale):
$2k-4<0 \implies k<2$
$3-k>0 \implies k<3$
Quindi l'iperbole è verticale per tutti i valori di $k$ più piccoli di 2. $k \in (-\infty, 2)$.
Rispondendo alla domanda sul fatto $k=3$ nella mia risoluzione, il motivo per cui hai pensato ciò è dovuto al fatto che il quesito è mal posto dato che richiede "per quale" invece che "per quali". L'equazione rappresenta quindi una iperbole per tutti i valori di $k$ più grandi di 3 (escluso 3 dato che è leviosa ($>$) e non leviosà ($\geq$) ), quindi per $k=4$, $k=5$, ecc.
